专题对点练11三角变换与解三角形1.(2017全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解(1)由已知可得tanA=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.2.已知a,b,c分别为锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边,且a=2csinA.(1)求角C;(2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值.解(1)由a=2csinA及正弦定理得sinA=2sinCsinA.∵sinA≠0,∴sinC=.∵△ABC是锐角三角形,∴C=.(2)∵C=,△ABC的面积为,∴absin,即ab=6.①∵c=,∴由余弦定理得a2+b2-2abcos=7,即(a+b)2=3ab+7.②将①代入②得(a+b)2=25,故a+b=5.3.(2017河南商丘二模,理17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(1+cosC)=c(2-cosB).(1)求证:a,c,b成等差数列;(2)若C=,△ABC的面积为4,求c.(1)证明∵b(1+cosC)=c(2-cosB),∴由正弦定理可得sinB+sinBcosC=2sinC-sinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC,∴sinA+sinB=2sinC,∴a+b=2c,即a,c,b成等差数列.(2)解∵C=,△ABC的面积为4absinC=ab,∴ab=16,∵由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,∵a+b=2c,∴可得c2=4c2-3×16,解得c=4.4.(2017河南六市联考二模,理17)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB+bcosA=0.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2,求△ABC的面积.解(1)在△ABC中,由正弦定理得sinA·sinB+sinB·cosA=0,即sinB(sinA+cosA)=0,又角B为三角形内角,sinB≠0,所以sinA+cosA=0,即sin=0,又因为A∈(0,π),所以A=.(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cosA,则20=4+c2-4c·,即c2+2c-16=0,解得c=-4(舍)或c=2,又S=bcsinA,所以S=×2×2=2.5.(2017四川成都二诊,理17)如图,在梯形ABCD中,已知∠A=,∠B=,AB=6,在AB边上取点E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED=,EC=.(1)求sin∠BCE的值;(2)求CD的长.解(1)在△CBE中,由正弦定理得,sin∠BCE=.(2)在△CBE中,由余弦定理得CE2=BE2+CB2-2BE·CBcos,即7=1+CB2+CB,解得CB=2.由余弦定理得CB2=BE2+CE2-2BE·CEcos∠BEC,cos∠BEC=,sin∠BEC=,sin∠AED=sin,cos∠AED=,在Rt△ADE中,AE=5,=cos∠AED=,DE=2,在△CED中,由余弦定理得CD2=CE2+DE2-2CE·DEcos=49,∴CD=7.导学号〚16804183〛6.(2017江西宜春二模,理17)如图,某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园,已知角A为,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何可使得三角形地块APQ面积最大?(2)已知竹篱笆长为50米,AP段围墙高1米,AQ段围墙高2米,造价均为每平方米100元,若AP≥AQ,求围墙总造价的取值范围.解设AP=x,则AQ=200-x,∴S△APQ=x(200-x)sin=2500,当且仅当x=200-x时,取等号,即AP=AQ=100时,S△APQ有最大值为2500平方米.(2)由正弦定理,得AP=100sin∠AQP,AQ=100sin∠APQ.故围墙总造价y=100(AP+2AQ)=10000(sin∠AQP+2sin∠APQ)=10000cos∠AQP.因为AP≥AQ,所以≤∠AQP<,所以cos∠AQP≤.所以围墙总造价(单位:元)的取值范围为(5000,15000].导学号〚16804184〛7.已知向量a=,b=(-sinx,sinx),f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=1,a=2,求△ABC面积的最大值.解(1)易得a=(-sinx,cosx),则f(x)=a·b=sin2x+sinxcosx=cos2x+sin2x=sin,∴f(x)的最小正周期T==π,当2x-+2kπ(k∈Z)时,即x=+kπ(k∈Z),f(x)取最大值是.(2)∵f=sin=1,∴sin,∴A=.∵a2=b2+c2-2bccosA,∴12=b2+c2-bc,∴b2+c2=12+bc≥2bc,∴bc≤12.(当且仅当b=c时等号成立)∴S=bcsinA=bc≤3.∴当△ABC为等边三角形时面积最大,最大值是3.导学号〚16804185〛8.(2017陕西咸阳二模,理17)设函数f(x)=sinxcosx-sin2(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f=0,c=2,求△ABC面积的最大值.解(1)函数f(x)=sinxcosx-sin2(x∈R),化简可得f(x)=sin2x-=sin2x-.令2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z),则kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),即f(x)的递增区间为(k∈Z),令2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),则kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).可得f(x)的递减区间为(k∈Z).(2)由f=0,得sinC=.∵△ABC是锐角三角形,∴C=.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,将c=2,C=代入得4=a2+b2-ab.由基本不等式得a2+b2=4+ab≥2ab,即ab≤4(2+),∴S△ABC=absinC≤×4(2+)×=2+,即△ABC面积的最大值为2+.
