前联后想，旁敲侧击，浅谈充要条件我们知道，命题与充要条件是数学的重要概念，它可以溶于数学的各个分支，它可以把数学的基本概念细化，使数学的逻辑推力更加严密．这里我们从不同的角度对充要条件加以理解，拓展延伸，达到升华提高．１充分条件、必要条件、充要条件的直观表示例１.观察如下的电路图填空1BAC2BAAC3BAC4BA.图①中开关A闭合是灯炮B亮的条件;B.图②中开关A闭合是灯炮B亮的条件;C.图③中开关A闭合是灯炮B亮的条件;D.图④中开关A闭合是灯炮B亮的条件．（填：充分非必要条件，必要非充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）解题关键：分清条件与结论，并且把条件与结论以符号“”表示出来，就可以准确作答．解答:A.图①中,开关A闭合灯炮B亮，因此填充要条件；B.图②中,开关A闭合灯炮B亮，灯炮B亮A闭合，所以填充分非必要条件；C.图③中，开关A闭合灯炮B亮，但是灯炮B亮A闭合，因此是必要非充分条件；D.图④中，开关A闭合灯炮B亮，灯炮B亮A闭合，所以既不充分也不必要条件解题评注：这里以线路图直观地表示出了条件与结论的关系，使概念更加形象化．２充分条件、必要条件、充要条件与集合例２．设，用心爱心专心（1）若，则ｐ是ｑ成立的条件；（2）若，则ｐ是ｑ成立的条件；（3）若，则ｐ是ｑ成立的条件；（4）若，则ｐ是ｑ成立的条件；（5）若，则ｐ是ｑ成立的条件．（填最为准确的答案）解题关键：以上关系可以结合韦氏图加以理解．解答：（1）画出满足的图像如图1，显然集合A的任一个元素都是集合B的元素，因此有，所以ｐ是ｑ成立的充分条件；（2）画出满足的图像如图2，显然集合B的任一个元素都是集合A的元素，因此有，所以ｑ是ｐ成立的必要条件；（3）由于，因此ｐｑ，所以ｐ是ｑ成立的充要条件；（4）由于，如图1，因此有且ｑｐ，则ｐ是ｑ成立的充分不必要条件条件．（5）由于，如图2，因此有且ｐｑ，则ｐ是ｑ成立的必要不充分条件误区点拨：对于（1）由于或，因此；反之，不一定成立，因此只填充分条件就可以了．其他一些情况同学们可以类似的加以理解．例３．设，是两个非空集合，则命题“”是命题“”的条件；解题分析：只要画出符合条件的文氏图就可以根据集合与充要条件的关系写出答案．解答：画出集合，如图3所示，显然，因此“”是“”的充分条件，当集合，N相等时，“”是“”的充要条件，因此应填充分条件．对应变式训练一．若、是两个非空集合．（1）若，则“”的条；（2）若，则“”的条．对应变式训练二用心爱心专心AB图1AB图2A（B）图３MNMN图3是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件３充分条件、必要条件、充要条件与数轴例４．设集合＝，集合，那么，的条件；解题分析：这里以数轴直观地表示出两集合之间的从属关系.解答：画出符合条件的图形如图4所示，显然有化为，化为，可见，因此，的充分而不必要条件.误区点拨:我们可以从两个集合的从属关系上去考虑,但是有关不等式的问题以数轴表达更简单直观.对应变式训练三１已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围．２已知，，则ｐ是ｑ的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分有不必要条件6命题与充要条件的综合应用例５．设是方程的根，求证不是实数．分析：根据互为逆否命题是等价的命题，要证，只要证明qp．证明：由已知是方程的根，则，用心爱心专心２４图4假设是实数，则有这与矛盾．因此，不是实数．解题评注：这里证明了命题“若是方程的根，则不是实数”的逆否命题“若是实数，则不是方程的根”．这种证题方法在立体几何中用得比较多．对于数学的学习，前联后想，旁敲侧击，才能达到巩固基础知识提高能力的目的，才能达到扩充知识面拓展知识．这对培养自己的发散思维能力，提高数学的学习兴趣是很重要的．对应变式训练一．解答（1）画出符合条件的图形如图4，显然有，因此“”的充分条件；（2）画出符合条件的图形如图5，显然有，因此“”的充分条件；解题指导：结合文氏图转化集合，，是解题的关键．对应变式训练二解答：，因此根据两集合的从属关系有，，反之不成立．所以是成立的必要而不充分条件．...
