第23讲三角函数的图像和性质的运用【知识要点】一、周期函数的定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内任意一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期，周期函数的周期不唯一，都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期.二、的图象与性质性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值，也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.三、复合函数的单调性设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：增增增增减减减增减减减增四、使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值.五、解答三角函数的问题时，不要漏了“”.【方法讲评】运用一求函数的单调区间解题步骤一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.【例1】已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.（Ⅱ）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．所以．【点评】（1）一般利用复合函数的单调性原理求复合函数的单调区间，首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.（2）如果知识比较熟练，也可以不必写得这么复杂，直接写出不等式（）也可以.【反馈检测1】已知函数.（1）求的周期和单调递增区间；（2）说明的图象可由的图象经过怎样变化得到.运用二求函数的奇偶性解题步骤一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.【例2】已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．【点评】三角函数的恒等变换在解决三角函数的问题时尤为重要，如果化简出现问题，后面的解答就会出错.【反馈检测2】设函数的最小正周期为，且为偶函数，求函数的解析式.运用三求函数的周期解题步骤一般先利用三角恒等变形把函数化成的形式，再利用周期公式求函数的周期.【例3】已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）当且时，求的值.【解析】由题设有．（I）函数的最小正周期是（II）由得即【点评】（1）要使用周期公式，必须先通过三角恒等变形将函数的解析式化为或的形式，再代周期公式.（2）正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是，注意一定要注意加绝对值.（3）函数的最小正周期是，不是.三角函数的周期公式中代表的是的系数，不是什么地方都是.函数中的系数是.【反馈检测3】已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．运用四求函数的对称性（对称轴和对称中心）解题步骤一般类比三角函数求复合函数的对称轴、对称中心等.【例4】已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数在区间上的值域.【解析】（1）由函数图象的对称轴方程为【点评】（1）求函数的对称轴一般就是解方程，求函数的对称轴一般就是解方程.【反馈检测4】函数图象的对称中心是.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第23讲:三角函数的图像和性质(周期性、单调性...
