考点28直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T11)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】选A.如图所示:因为α∥平面CB1D1,所以若设平面CB1D1∩平面ABCD=m1,则m1∥m.又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,结合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:CD1∥n.故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此∠CD1B1=,即sin∠CD1B1=.2.(2016·浙江高考理科·T2)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【解题指南】根据线、面垂直的定义判断.【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l⊂β,因为n⊥β,所以n⊥l.二、解答题3.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB.(2)求四面体N-BCM的体积.【解析】(1)由已知得AM=AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TN∥AM,TN=AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=×S△BCM×=.4.(2016·山东高考理科·T17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC.(2)已知EF=FB=AC=2,AB=BC.求二面角F-BC-A的余弦值.【解题指南】(1)找FC中点I,连接GI,HI,构造面面平行,进而证明线面平行.(2)连接OO',过点F作FM垂直OB于点M,过点M作MN⊥BC,找出二面角的平面角是解题的关键.当然,也可以用向量法求解.【解析】(1)如图,设FC中点为I,连接GI,HI,在△CEF中,GI∥EF,又EF∥OB,所以GI∥OB;在△CFB中,HI∥BC,又HI∩GI=I,所以,平面GHI∥平面ABC,又因为GH⊂平面GHI,GH⊄平面ABC,所以GH∥平面ABC.(2)如图,连接OO',过点F作FM垂直OB于点M,则有FM∥OO'.又OO'⊥平面ABC,所以FM⊥平面ABC,可得FM==3.过点M作MN⊥BC,垂足为N,易得FN⊥BC,从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角.又AB=BC,AC为下底面圆的直径,可得MN=BMsin45°=.由勾股定理可得,FN=,从而cos∠FNM=.所以二面角F-BC-A的余弦值为.5.(2016·山东高考文科·T18)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB.(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.【解题指南】(1)利用线线垂直判断线面垂直,再由线面垂直的性质证明线线垂直.(2)找FC中点I,连接GI,HI,构造面面平行,进而证明线面平行.【解析】(1)连接ED,因为AB=BC,AE=EC,D为AC中点,所以AC⊥DE,AC⊥DB,DE∩DB=D,又EF∥DB,所以E,F,B,D四点共面,所以AC⊥平面EFBD,所以AC⊥FB.(2)取FC中点I,连接GI,HI,则有GI∥EF,HI∥BC,又EF∥DB,所以GI∥BD,又GI∩HI=I,BD∩BC=B,所以,平面GHI∥平面ABC,因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.
