重庆市永川中学高二数学第12周第3次小题单（正态分布）1．设随机变量X～N(2，4)，则D的值等于()．A．1B．2C.D．4解析∵X～N(2，4)，∴μ＝2，σ2＝4，∴D＝D(X)＝1.答案A2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝()．A．0.84B．0.32C．0.16D．0.08解析由题意P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＞4)＝0.16.又μ＝2P(ξ≤0)＝P(ξ＞4)＝0.16.答案C3．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是()．A．997B．954C．819D．683解析由题意可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，从而属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.1答案D4．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．解析正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义是期望，我们也就找到了正态分布的数学期望了．因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以正态分布的数学期望为1.答案15．设离散型随机变量X～N(0，1)，则P(－2＜X＜2)＝____________．解析P(－2＜X＜2)＝P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544.答案0.95446．设X～N(10，1)．(1)证明：P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)；(2)设P(X≤2)＝a，求P(10＜X＜18)．(1)证明：因为X～N(10，1)，所以，正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间(1，2)和(18，19)关于直线x＝10对称，所以φμ，σ(x)dx＝φμ，σ(x)dx即P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)．(2)解因为P(X≤2)＋P(2＜X≤10)＋P(10＜X＜18)＋P(X≥18)＝1，P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，2P(2＜X≤10)＝P(10＜X＜18)，所以，2a＋2P(10＜X＜18)＝1，即P(10＜X＜18)＝＝－a.7．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占总人数的比例；(2)成绩在80～90分内的学生占总数的比例．解(1)设学生的得分为随机变量X，X～N(70，102)，则μ＝70，σ＝10.分数在60～80之间的学生的比例为P(70－10＜X≤70＋10)＝0.6826，所以不及格的学生的比例为×(1－0.6826)＝0.1587，即成绩不及格的学生占总人数的15.87%.(2)成绩在80～90分内的学生的比例为[P(70－2×10＜X≤70＋2×10)]－[P(70－10＜X≤70＋10)]＝(0.9544－0.6826)＝0.1359.即成绩在80～90分内的学生占总人数的13.59%.8.已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，某密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500之间的人数百分比．设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式3(2)∵P(7500＜ξ≤8500)＝P(8000－500＜ξ≤8000＋500)＝0.6826.∴P(8000＜ξ≤8500)＝12P(7500＜ξ≤8500)＝0.3413.∴此地农民工年均收入在8000～8500之间的人数百分比为34.13%.4
