第7讲直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于()．A.B．2C.D．4解析直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.答案C2．设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()．A.B.C.D.解析由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|＝|BF2|＝，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为，结合图形易得tanθ＝＝＝，故|CF1|＋|CF2|＝＝|F1F2|＝2c，整理并化简得b2＝(a2－c2)＝ac，即(1－e2)＝e，解得e＝.答案C3．抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于()．A．7B．3C．6D．5解析点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.答案A4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝()．A．1＋2B．4－2C．5－2D．3＋2解析如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故应选C.答案C5．已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是()．A.B.C．2D.解析法一据题意画图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1.设直线l的倾斜角为θ，|AF|＝2|BF|＝2r，则|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r，1所以有|AB|＝3r，|AD|＝r，则|BD|＝2r，k＝tanθ＝tan∠BAD＝＝2.法二直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2.又k>0，故k＝2.答案C6．过双曲线－＝1(a>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是()．A．(，5)B．(，)C．(1，)D．(5,5)解析令b＝，c＝，则双曲线的离心率为e＝，双曲线的渐近线的斜率为±.据题意，2<<3，如图所示． ＝，∴2<<3，∴5b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．解析由题意，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.答案＋＝19．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．解析由题意知A点的坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝.答案10．已知曲线－＝1(a·b≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP·OQ＝0(O为原点)，则－的值为________．解析将y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则2x1＋x2＝，x1x2＝.OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)·(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.答案2三、解答题11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．(1)...
