高考数学大一轮复习 第五章 数列 课下层级训练30 数列求和（含解析）文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课下层级训练(三十)数列求和[A级基础强化训练]1．(2019·广东广州调研)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于()A．n2＋1－B．2n2－n＋1－C．n2＋1－D．n2－n＋1－A[该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.]2．(2019·山东滨州月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S8＝()A．127B．192C．255D．511C[因为{an}是等比数列，设公比为q(q≠0)且S2＝3，S4＝15.知q≠1.所以S4＝S2＋a3＋a4＝3＋(a1＋a2)·q2＝3＋3·q2＝15，则q2＝4，因为S8＝S4＋(a5＋a6＋a7＋a8)＝15＋(a1＋a2＋a3＋a4)·q4＝15＋15q4＝15＋15×16＝255.所以S8＝255.]3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是()A．16B．20C．33D．120C[由已知得a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.]4．(2019·山西太原月考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，且关于x的方程a1x2－a3x＋a2＝0有两个相等的实根，则＝()A．5B．14C．21D．27C[根据题意，关于x的方程a1x2－a3x＋a2＝0有两个相等的实根，则有(a3)2－4a1a2＝0，变形可得q4－4q＝0，即q3＝4，则＝＝＝＝21.]5．(2018·湖南湘潭模拟)已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为()A．1026B．1025C．1024D．1023C[ ＝1＋n，∴Tn＝n＋1－，∴T10＋1013＝11－＋1013＝1024－，又m>T10＋1013，∴整数m的最小值为1024.]6．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝__________.[设等差数列{an}的公差为d，则由得∴Sn＝n×1＋×1＝，＝＝2.∴＝＋＋＋…＋＝2＝2＝.]7．(2019·河南商丘质检)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为__________.2n＋1－2－n[由题意知所求数列的通项为＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为－n＝2n＋1－2－n.]8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.2n＋1－2[因为an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.所以Sn＝＝2n＋1－2.]9．(2019·河南六市联考)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足an＝(n≥2)．(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：当n≥2时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＜.证明(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，Sn－1－Sn＝2SnSn－1，－＝2，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，＝＋(n－1)×2＝2n－1，∴Sn＝，∴当n≥2时，Sn＝＜＝·＝.从而S1＋S2＋S3＋…＋Sn＜1＋＝－＜.10．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝Sn＋an＋2，a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＝()1＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1) Sn＋1＝Sn＋an＋2，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝an＋2.∴数列{an}是公差为2的等差数列；又a1，a2，a5成等比数列，∴a1·(a1＋4d)＝(a1＋d)2⇒a1·(a1＋8)＝(a1＋2)2.∴a1＝1，∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)可得：bn＝(2n－1)·()2n＝(2n－1)·2n，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，∴2Tn＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1.错位相减得：－Tn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1＝2＋2n＋2－8－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.[B级能力提升训练]11．已知{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，依b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.得解得d＝1，q＝2，所以an＝1＋(n－1)＝n，bn＝1×2n－1＝2n－1.(2)由(1)知，cn＝anbn＝n·2n－1，则Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1①2Tn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n②①－②得－Tn＝1·20＋1·21＋1·22＋…＋1·2n－...