高考数学复习点拨 求数列通项的初等方法新人教A版VIP免费

求数列通项的几种方法近年的高考中出现了给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式）求通项公式的问题.对于这类问题学生感到困难较大.本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧，以供教学参考.1、多式相加法数列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+……+f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an.例1.在数列{an}中，a1=－1，an+1=an+2n，求an（n≥2）.解：由条件，a2=a1+2×1,a3=a2+2×2……，an=an－1+n(n－1)，以上n－1个式子相加化简得：an=a1+n(n－1)=n2－n－1.2、多式相乘法数列有形如an=f(n)·an－1的解析关系，而f(1)·f(2)……f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an.例2．在数列{an}中，aannaann(11,2111≥2），求na.解：由条件11,64,53,42,3145342312nnaaaaaaaaanan－1,这n－1个式子相乘化简得：）1(1nnan.3、待定系数法数列有形如kbakann(1、b为常数）的线性递推关系，可用待定系数法求得an.例3．在数列{an}中，,13,111nnaaa求na.解：在131nnaa的两边同加待定数，得nnnaaa(3131+（－1）/3），令,3)1(得).21(321.211nnaa数列{}21na是公比为3的等比数列,∴an21=).13(21,32111nnna用心爱心专心4、分解因式法当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.例4．已知),1,0(,)1()(,)1()(34rxrxgxxf数列}{na满足1,21naa（n∈N），且有条件naafngaannnn(,0)()1()(11求≥2）.解：由得：0)]1()([)1(.0)1()1()(113141311nnnnnnnnaaaraaaraa即对n∈N，,11:.0)1()(,1111nnnnnnarrraaaara合并同类项得故再由待定系数法得：).1(111nnarra∴.)1(11nnrra5、求差法数列有形如)(),(1nnnagSSf的关系（非递推关系），可考虑用求差nnnaSS1后，再用其它初等方法求得.na例5．设}{na是正数组成的数列，其前n项和为nS，并且对于所有的自然数nan,与2的等差中项等于nS与2的等比中项：（1）写出数列}{na的前3项；（2）求数列}{na的通项公式.出题者的意图是：通过（1）问求出数列前3项再猜想出通项公式；（2）再用数学归纳法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单.解：（1）略（2）由条件，得,222nnSa即,8)2(2nnSa①用心爱心专心.8)2(121nnSa②①－②得212)2()2(8nnnaaa，即.0)2()2(212nnaa分解因式得.0)4)((11nnnnaaaa对于n∈na,N＞0，∴.41nnaa∴}{na是公差为4的等差数列，.24)142nnan（6、倒数法数列有形如0),,(11nnnnaaaaf的关系，可在等式两边同乘以,11nnaa先求出.,1nnaa再求得例6．设数列}{na满足,21a),N(31naaannn求.na解：原条件变形为.311nnnnaaaa两边同乘以,11nnaa得11131nnaa.∵113211,211)2113nnnnaaa（∴.13221nna7、复合数列构成等差、等比数列法用心爱心专心数列有形如0),(12nnnaaaf，的关系，可把复合数列化为等差数列或等比数列，再用其它初等方法求得.na例7．在数列}{na中，,23,3,21221nnnaaaaa求.na解：由条件,2312nnnaaa∴),(2112nnnnaaaa∴.2112nnnaa再用多式相加法可得：.1221)21(2222nnnaa8、循环法数列有形如0),(12nnnaaaf，的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列有时可考虑构成循环关系而求出.na例8．在数列}{na中，.19981221,,5,1aaaaaannn求解：由条件,)(11123nnnnnnnaaaaaaa即,,363nnnnnaaaaa即每间隔6项循环一次.1998=6×333，∴.461998aa9、开方法对有些数列，可先求,3nnaa或再求.na例9．有两个数列},{},{nnba它们的每一项都是正整数，且对任意自然数nan,nb、1na成等差数列，nb、1na、1nb成等比数列，.,2,3,1121nnbabaa和求解：由条件有：用心爱心专心2bn=an+an+1,①a2n+1=bn·bn+1.②由②式得：,1nnnbba③.11nnnbba④把③、④代入①得：112nnnnnbbbbb，变形得nnnnnnbbbbbb11)(（）.∵nb＞0，∴nb－nnnbbb11.∴nb是等差数列.因,2,3,1121baa,2229,29122bbb故故∴,2,22nbnbnn故).1(21nnbbannn用心爱心专心