第十三讲利用导数求函数的单调性、极值、最值【套路秘籍】---千里之行始于足下一．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．二．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．三．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一单调区间【例1】求下列函数的单调区间：（1）；（2）.（3）)f(x)＝.【答案】见解析【解析】（1）由题意得.令，解得或.当时，函数为增函数；当时，函数也为增函数.令，解得.当时，函数为减函数.故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）函数的定义域为..令，解得；令，解得.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)要使函数f(x)＝有意义，必须2x－x2≥0，即0≤x≤2.∴函数的定义域为[0,2]．f′(x)＝()′＝(2x－x2)－·(2x－x2)′＝.令f′(x)＞0，则＞0.即∴0＜x＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)．令f′(x)＜0，则＜0，即∴1＜x＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)．【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间①求函数的定义域②求导③解不等式＞0得解集④求,得函数的单调递增（减）区间。一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数【举一反三】1．函数y＝4x2＋的单调增区间为________．【答案】【解析】由y＝4x2＋，得y′＝8x－(x≠0)，令y′>0，即8x－>0，解得x>，∴函数y＝4x2＋的单调增区间为.2．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的单调增区间是________．【答案】(e－1，＋∞)【解析】由f(x)＝x·ex－ex＋1，得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)>0，解得x>e－1，所以函数f(x)的单调增区间是(e－1，＋∞)．3．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)的单调减区间是________．【答案】【解析】因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)，当f′(x)<0时，解得00，则其在区间(－π，π)上的解集为∪，即f(x)的单调增区间为和.考向二极值【例2】求函数f(x)＝－2的极值．【答案】见解析【解析】函数的定义域为R.f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘由表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－2＝－1.【套路总结】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．【举一反三】1．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．【答案】见解析【解析】函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－...
