课时提升作业(五)同角三角函数的基本关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.sinα=，则sin2α-cos2α的值为()A.-B.-C.D.【解析】选B.因为sinα=，所以cos2α=1-sin2α=，则原式=-=-.【延伸探究】本题条件下，求sin4α-cos4α的值.【解析】由sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=-.2.(2015·福建高考)若sinα=-，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.B.-C.D.-【解题指南】利用同角三角函数关系，“知一求二”.【解析】选D.由sinα=-，且α为第四象限角可知cosα=，故tanα==-.3.(2015·葫芦岛高一检测)已知α是第二象限角，cosα=-，则3sinα+tanα=()A.-B.C.-1D.0【解析】选D.因为cosα=-，α是第二象限角，所以sinα===.所以tanα===-2.所以3sinα+tanα=3×-2=0.4.(2015·重庆高一检测)已知角θ为第四象限角，且tanθ=-，则sinθ-cosθ=()A.B.C.-D.-【解析】选D.由已知得所以+cos2θ=1，cos2θ=，又角θ为第四象限角，所以cosθ=.所以sinθ=-cosθ=-×=-.所以sinθ-cosθ=--=-.5.已知sinα-cosα=-，则tanα+的值为()A.-4B.4C.-8D.8【解析】选C.tanα+=+=.因为sinαcosα==-，所以tanα+=-8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·北京高一检测)已知α是第二象限的角，且sinα=，则cosα=________.【解析】因为α是第二象限的角，且sinα=，所以cosα=-=-=-.答案：-7.若sinθ=，cosθ=，且θ的终边不落在坐标轴上，则tanθ的值为________.【解析】因为sin2θ+cos2θ=+=1，所以k2+6k-7=0，所以k1=1或k2=-7.当k=1时，cosθ不符合，舍去.当k=-7时，sinθ=，cosθ=，tanθ=.答案：8.已知sinx=3cosx，则sinxcosx的值是________.【解析】将sinx=3cosx代入sin2x+cos2x=1中得9cos2x+cos2x=1，即cos2x=，所以sin2x=1-cos2x=，因为sinx与cosx同号，所以sinxcosx>0，则sinxcosx==.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·武汉高一检测)已知=，α∈.(1)求tanα的值.(2)求的值.【解析】(1)由=，得3tan2α-2tanα-1=0，即(3tanα+1)(tanα-1)=0，解得tanα=-或tanα=1.因为α∈，所以tanα<0，所以tanα=-.(2)由(1)，得tanα=-，所以===.【延伸探究】本例条件下，计算sin2α+sinαcosα的值.【解析】sin2α+sinαcosα====-.10.求证：3-2cos2α=.【证明】右边==3-=3-=3-=3-2cos2α=左边，所以原式得证.【一题多解】左边====右边，所以原式得证.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是()A.B.C.1D.【解析】选C.原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.【补偿训练】若sinα+sin2α=1，则cos2α+cos4α等于________.【解析】因为sinα+sin2α=1，sin2α+cos2α=1，所以sinα=cos2α，所以cos2α+cos4α=sinα+sin2α=1.答案：12.(2015·宣城高一检测)已知sinθ=2cosθ，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ等于()A.-B.C.-D.【解题指南】关于sinθ，cosθ的齐次式，可用1的代换、化弦为切求值.【解析】选D.因为sinθ=2cosθ，所以tanθ==2，sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ====.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·龙岩高一检测)化简：α为第二象限角，则+-=__________.【解析】原式=+-=+-.又因为α为第二象限角，所以cosα<0，1+sinα>0，1-sinα>0，所以原式=--=-1-+=-1+=-1-2tanα.答案：-1-2tanα【补偿训练】=________.【解析】原式===因为sin70°>cos70°>0，所以原式==1.答案：14.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，则实数m的值为________.【解析】设直角三角形中的该锐角为β，因为方程4x2-2(m+1)x+m=0中，Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0，所以当m∈R时，方程恒有两实根.又因为sinβ+cosβ=，sinβcosβ=，所以由以上两式及sin2β+cos2β=1，得1+2·=，解得m=±.当m=时，sinβ+cosβ=>0，sinβ·cosβ=>0，满足题意，当m=-时，sinβ+cosβ=<0，这与β是锐角矛盾，舍去.综上，m=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·盐城高一检测)已知sinα+cosα=(0<α<π)，(1)求sinαcosα.(2)求sinα-cosα.【解析】(1)平方得1+2sinαcosα=，所以sinαcosα=-.(2)由(1)式知sinαcosα<0，0<α<π，所以<α<π，所以sinα-cosα>0，因为(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=，所以sinα-cosα=.【补偿训练】在△ABC中，sinA+cosA=，求(1)sinA·cosA.(2)tanA.【解析】(1)因为sinA+cosA=，所以(sinA+cosA)2=，即1+2sinAcosA=，所以sinAcosA=-.(2)因为sinA+cosA=，①A∈(0，π)，所以A∈，所以sinA-cosA>0，又因为(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=1-2×=，所以sinA-cosA=②联立①②解得，sinA=，cosA=-，所以tanA===-.6.已知sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，其中θ为锐角，求证：cosθ=.【证明】由sinθ=asinφ，tanθ=btanφ，得=，即acosφ=bcosθ，而asinφ=sinθ，得a2=b2cos2θ+sin2θ，即a2=b2cos2θ+1-cos2θ，得cos2θ=，而θ为锐角，所以cosθ=.
