第三课时反证法与放缩法[基础达标]1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°答案B2.设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上单调递减，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系是A.f(b－2)＝f(a＋1)B.f(b－2)＞f(a＋1)C.f(b－2)＜f(a＋1)D.不能确定解析因为函数f(x)是偶函数，所以b＝0.因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以0＜a＜1，f(b－2)＝loga2，f(a＋1)＝loga(a＋1)，而a＋1＜2，所以f(b－2)＜f(a＋1).答案C3.设x>0，y>0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为A.A≥BB.A＝BC.A>BD.A
0，y>0，∴A＝＋<＋＝B.答案D4.某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0，1]，都有)＜|x1－x2|，求证：)＜.那么它的假设应该是________.解析假设)≥.答案)≥5.已知x>0，y>0，且x＋y>2，试证：，中至少有一个小于2.1证明假设，都不小于2，即≥2，且≥2.因为x>0，y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x.把这两个不等式相加，得2＋x＋y≥2(x＋y)，从而x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾.因此，，都不小于2是不可能的，即原命题成立.[能力提升]1.已知a2＋b2＝1且c＜a＋b恒成立，则c的取值范围是A.(－∞，－2)B.(－∞，－)C.(－，)D.(－∞，)解析令a＝cosθ，b＝sinθ，θ∈R，则a＋b＝cosθ＋sinθ＝sin≥－，∴c＜－.答案B2.已知a、b、c、d都是正数，S＝＋＋＋，则有A.01D.M与1大小关系不确定解析分母全换成210，共有210个单项.答案B5.对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与ab与ab与a0，则实数p的取值范围是A.B.C.(－1，0)D.解析若在[－1，1]内没有满足f(c)>0的实数c，则解得∴此时p的取值范围是，取补集即得所求实数p的范围，即.答案A7.已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，则z＝2a＋3b的取值范围是________.解析令a＝cos2θ，b＝sin2θ，θ∈，则z＝2a＋3b＝2cos2θ＋3sin2θ＝2＋sin2θ，∵0＜sin2θ＜1，∴2＜z＜3.答案(2，3)8.设x＞1，则＋与1的大小关系为________.解析∵x＞1，∴1＋x＞2.∴＜，∴＋＞＋＝＝1.答案＋＞19.若f(n)＝－n，g(n)＝，n∈N＋，则f(n)与g(n)的大小关系为____________.解析f(n)＝－n＝＜＝＝g(n).答案g(n)＞f(n)10.已知函数f(x)＝，设a、b∈R，且a≠b，求证：|f(a)－f(b)|＜|a－b|.证明|f(a)－f(b)|＜|a－b|⇐|－|＜|a－b|3⇐(－)2＜(a－b)2⇐2＋a2＋b2－2＜a2＋b2－2ab⇐1＋ab＜.①当ab≤－1时，式①显然成立；当ab＞－1时，式①⇐(1＋ab)2＜(1＋a2)(1＋b2)⇐2ab＜a2＋b2.②∵a≠b，∴式②成立.故原不等式成立.本题还可用放缩法进行证明，过程更为简捷.∵|－|＝＜≤＝|a－b|.∴原不等式成立.11.设a>0，b>0，且a＋b＝＋.求证：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立.证明由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0
