高考数学二轮复习 关于平面向量数量积运算的三类经典题型专题检测（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

23关于平面向量数量积运算的三类经典题型1．(2014·课标全国Ⅱ改编)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.答案1解析|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.2．(2014·四川改编)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.答案2解析因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m,2m)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．根据题意可得＝，所以＝，解得m＝2.3．(2013·江西)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．答案解析a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝. a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴＝.4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设OA＝a，OB＝b，OP＝p，则p·(b－a)＝________.答案－解析以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)，C(，)，直线l的方程为y－＝x－，即x－y－＝0.设P(x，x－)，则p＝(x，x－)，而b－a＝(－1,1)，所以p·(b－a)＝－x＋(x－)＝－.5．在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是________．答案(，]解析由题意，知B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，为半径的圆的内部．又AB1⊥AB2，AP＝AB1＋AB2，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|OA|取得最大值，当P在半径为的圆周上时，|OA|取得最小值.6．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．答案22解析由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB.因为AP·BP＝2，所以(AD＋AB)·(AD－AB)＝2，即AD2－AD·AB－AB2＝2.又因为AD2＝25，AB2＝64，所以AB·AD＝22.7．(2014·湖北)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.答案±3解析由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.8．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．答案解析由e1·e2＝，可得cos〈e1，e2〉＝＝，故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝.f(e1，e2)＝e1cos－e2sin＝e1－e2，f(e2，－e1)＝e2cos－(－e1)sin＝e1－e2.f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(e1－e2)·(e1－e2)＝－e1·e2＝0，所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)．故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.9．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是________．答案4解析方法一(坐标法)由|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，可得∠AOB＝.又A，B是定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)．由OP＝λOA＋μOB，可得⇒因为|λ|＋|μ|≤1，所以|x|＋|－x|≤1.整理，得2|x|＋|y－x|≤2.当x≥0，且y－x≥0时，不等式为x＋y≤2；当x≥0，且y－x<0时，不等式为x－y≤2；当x<0，且y－x≥0时，不等式为x－y≥－2；当x<0，且y－x<0时，不等式为x＋y≥－2.画出不等式所表示的可行域，如图中的阴影部分所示．求得E(0,2)，F(－，－1)，C(0，－2)，D(，1)．显然该平面区域是一个矩形，边长EF＝2，ED＝2，故该平面区域的面积S＝EF×ED＝4.方法二(向量法)由|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，知〈OA，OB〉＝.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB中，取OC＝λOA，过点C作CD∥OB交AB于点D，作OE∥AB交OB于点E，显然OD＝λOA＋CD.由于＝＝1－λ，所以CD＝(1－λ)OB.于是OD＝λOA＋(1－λ)OB＝λOA＋μOB＝OP.故当λ＋μ＝1时，点P在线段AB上．所以λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△OAB内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，其面积S＝4S△OAB＝4××2×2sin＝4.10．(2014·...