高频考点集中练数列与不等式1.(2019·全国卷Ⅱ)若a>b,则()A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|【命题思维分析】高考对指(对)数函数、幂函数的考查一般是利用性质比较大小或借助分段函数求值,本题以不等式为载体,考查利用指(对)数函数、幂函数的图象与性质比较大小.【解析】选C.当a=3,b=2时,选项A错.由于a>b,而y=3x是增函数,所以3a>3b,故B错.当a=3,b=-5时,选项D错.因为y=x3是增函数,故a3>b3,故C正确.【真题拾贝】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.2.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2【命题思维分析】利用方程思想列出关于a1,q的方程组,求出a1,q,再利用通项公式即可求得a3的值.【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a1>0且q>0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.【真题拾贝】数列的基本量问题,列方程或方程组求解即可.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知数列满足a1=1,nan+1=2an,设bn=.(1)求b1,b2,b3.(2)判断数列是否为等比数列,并说明理由.(3)求的通项公式.【命题思维分析】(1)根据题中条件所给的数列{an}的递推公式nan+1=2(n+1)an,将其化为an+1=an,分别令n=1和n=2,代入上式求得a2=4和a3=12,再利用bn=,从而求得b1=1,b2=2,b3=4.(2)利用条件可以得到=,从而可以得出bn+1=2bn,这样就可以得到数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)借助等比数列的通项公式求得=2n-1,从而求得an.【解析】(1)由条件可得an+1=an.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.【真题拾贝】该题考查的是有关数列的问题,涉及的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项,根据不同数列的项之间的关系,确定新数列的项,利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列,根据等比数列通项公式求得数列{bn}的通项公式,借助于{bn}的通项公式求得数列{an}的通项公式,从而求得最后的结果.4.(2017·全国卷Ⅲ)设数列满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.(1)求的通项公式.(2)求数列的前n项和.【命题思维分析】(1)利用数列递推关系即可得出.(2)==-.利用裂项求和方法即可得出.【解析】(1)由已知可得:a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,所以当n>1时有a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),所以两式作差可得:(2n-1)an=2,即an=(n>1,且n∈N*),又因为n=1时,a1=2符合,所以an=(n∈N*).(2)设bn=,则bn==-,所以数列的前n项和为Sn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-=1-=.【真题拾贝】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法,注意裂项相消规律.5.(2018·浙江高考)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值.(2)求数列{bn}的通项公式.【命题思维分析】(1)根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比,(2)先根据数列{(bn+1-bn)an}前n项和求通项,解得bn+1-bn,再通过叠加法以及错位相减法求bn.【解析】(1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20得8=20,因为q>1,所以q=2.(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}的前n项和为Sn.由cn=解得cn=4n-1,经检验,n=1时该式成立.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)·,故bn-bn-1=(4n-5)·,n≥2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·+(4n-9)·+…+7·+3,设Tn=3+7·+11·+…+(4n-5)·,n≥2,Tn=3·+7·+…+(4n-9)·+(4n-5)·,所以Tn=3+4·+4·+…+4·-(4n-5)·,因此Tn=14-(4n+3)·,n≥2,又b1=1,所以bn=15-(4n+3)·,经检验,n=1时该式成立.【真题拾贝】用错位相减法求和应注意的问题:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
