高考数学大一轮复习 5.4平面向量应用举例试题 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第4讲平面向量的综合应用一、填空题1．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，则a·b＋b·c＋c·a＝________.解析由|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，可得|CA|2＝|BC|2＋|AB|2，∠B＝90°，∠C＝60°，∠A＝30°，所以a·b＋b·c＋c·a＝2cos120°＋2cos150°＋0＝－4.答案－42．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB·AC＝BA·BC＝1，那么c＝________.解析由题知AB·AC＋BA·BC＝2，即AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB)＝AB2＝2⇒c＝|AB|＝.答案3．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．解析由已知得AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.答案34．已知平面上有四个互异点A、B、C、D，若(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状为________．解析由(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，得[(DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC)＝0，所以(AB＋AC)·(AB－AC)＝0.所以|AB|2－|AC|2＝0，∴|AB|＝|AC|，故△ABC是等腰三角形．答案等腰三角形5.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则AO·BC＝________.解析AO·BC＝AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB，因为OA＝OB，所以AO在AB上的投影为|AB|，所以AO·AB＝|AB|·|AB|＝2，同理AO·AC＝|AC|·|AC|＝，故AO·BC＝－2＝.答案6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D，E分别为AB，BC的中点，且AB·CD＝BC·AE，则a2，b2，c2成________数列．解析由AB·CD＝BC·AE，得(CB－CA)·(CB＋CA)＝(AC－AB)·(AC＋AB)，即CB2－CA2＝AC2－AB2，所以a2－b2＝b2－c2，所以a2，b2，c2成等差数列．答案等差7．已知点P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则AP·(AB＋AC)＝________.解析如图，因为AB＋AC＝AD＝2AO，△ABC为正三角形，所以四边形ABDC为菱形，BC⊥AO，所以AP在向量AD上的投影为AO.又|AO|＝，所以AP·(AB＋AC)＝|AO|·|AD|＝6.答案68．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R，若BQ·CP＝－，则λ＝________.解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由AP＝λAB，得P(2λ，0)，由AQ＝(1－λ)AC，得Q(1－λ，(1－λ))，所以BQ·CP＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.答案9．设OM＝，ON＝(0,1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足0≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1，则z＝y－x的最小值是________．解析由题得所以可行域如图所示，所以当直线y－x＝z经过点A(1,0)时，zmin＝－1.答案－110．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝________.解析根据题中给定的两个向量的新运算可知a∘b＝＝＝，b∘a＝，又由θ∈可得0可得0<≤1，于是0<<1，即b∘a∈(0,1)，又由于b∘a∈，所以＝，即|a|＝2|b|cosθ.①同理>，将①代入后得2cos2θ>，又由于a∘b∈，所以a∘b＝2cos2θ＝(n∈Z)，于是1<<2，故n＝3，∴cosθ＝，|a|＝|b|，∴a∘b＝×＝.答案二、解答题11．已知在锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量m＝(sinB，－)，n＝，且m∥n.(1)求函数f(x)＝sin2xcosB－cos2xsinB的单调递减区间；(2)若b＝1，求△ABC的面积的最大值．解(1)因为m∥n，所以sinB＋cos2B＝2sinBcosB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin＝0，所以B＝.所以f(x)＝sin(2x－B)＝sin.于是由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.(2)当b＝1时，由余弦定理，得1＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac≥ac，所以S△ABC＝acsin≤，当且仅当a＝c＝1时等号成立，所以(S△ABC)max＝.12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)·BC·BA＋cCA·CB＝0.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，试求AB·CB的最小值．解(1)因为(2a＋c)BC·BA＋cCA·CB＝0，所以(2a＋c)accosB＋abccosC＝0，即(2a＋c)cosB...