课时作业52椭圆一、选择题1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2B．6C．4D．12解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝4.答案：C2．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为()A．－21B．21C．－或21D.或21解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝，即＝，解得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，若＝，即＝，解得k＝21.答案：C3．(2017·湖北八校联考)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A.B.C.D.解析：由题意知a＝3，b＝，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2， OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝＝.又 |PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，∴＝×＝，故选B.答案：B4．(2016·新课标全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：解法1：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝(e＝－舍去)，故选B.解法2：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，所以e＝＝，故选B.答案：B5．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线，与椭圆的一个交点为P，则使得PF1·PF2<0的点M的概率为()A.B.1C.D.解析：设P(x，y)，PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)， PF1·PF2＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2＋y2－c2＝x2＋－3＝－2<0，∴－b>0)的左焦点F(－c,0)关于直线bx＋cy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.解析：设左焦点F(－c,0)关于直线bx＋cy＝0的对称点为P(m，n)，则⇒所以m＝＝＝(1－2e2)c，n＝＝＝2be2.因为点P(m，n)在椭圆上，所以＋＝1，即(1－2e2)2e2＋4e4＝1，即4e6＋e2－1＝0，将各选项代入知e＝符合，故选D.答案：D二、填空题7．直线x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________．解析：直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2.直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b＝1.故a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为＋y2＝1.答案：＋y2＝18．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为________．解析：如图，设椭圆的标准方程为＋＝1，由题意知，2a＝4，a＝2， ∠CBA＝，BC＝，∴点C的坐标为C(－1,1)．又 点C在椭圆上，∴＋＝1，∴b2＝，∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为.答案：9．(2017·安徽江南十校联考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________．解析：不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|＝＝，在Rt△POA中，cos∠POA＝＝，故∠POA＝60°，易得P，代入椭圆方程得：＋＝1，故a2＝5b2＝5(a2－c2)，则＝，所以离心率e＝.答案：三、解答题10．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0)，点H在椭圆上．2(1)求椭圆的方程；(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．解：(1)设椭圆的左焦点为F1，根据已知，椭圆的左右焦点分别是F1(－1,0)，F2(1,0)，c＝1， H在椭圆上，∴2a＝|HF1|＋|HF2|＝＋＝6，∴a＝3，b＝2，故椭圆的方程是＋＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝1，|PF2|＝＝＝， 01)．(Ⅰ)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(Ⅱ...
