大题分层练(四)三角、数列、概率统计、立体几何(D组)1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为.(1)当x∈时,求f(x)的单调递减区间.(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈时,求函数g(x)的值域.【解析】(1)由题知f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin,因为相邻两对称轴的距离为,所以T==×2=π,ω=2.又因为f(x)为奇函数,所以φ-=kπ,φ=+kπ,(k∈Z),0<φ<π,所以φ=,即f(x)=2sin2x,要使f(x)单调递减,需-π≤2x≤-,-7.879,所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为市民参加广场活动的项目与性别有关.(2)由表可知,该市市民跳广场舞的男女性别比是1∶3,所以抽取的四人中只有1名男性,其余3名是女性,从中任选两人的所有结果是:(男,女1),(男,女2),(男,女3),(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3),其中是一男一女的有三种.设“这两名管理员是一男一女”为事件A,则P(A)==.所以这两名管理员是一男一女的概率为.4.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为正三角形,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点.(1)若BC=BB1,求证:BC1⊥平面AEG.(2)若D为AB的中点,∠CA1D=45°,四棱锥C-A1B1BD的体积为,求三棱锥F-AEC的表面积.【解析】(1)如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AE⊥BB1,又因为E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AE⊥BC,又BC∩BB1=B,所以AE⊥平面B1BCC1,则AE⊥BC1,连接B1C,因为BC=BB1,易知四边形B1BCC1为正方形,则BC1⊥B1C,又GE∥B1C,则BC1⊥GE,因为GE∩AE=E,所以BC1⊥平面AEG.(2)因为△ABC是正三角形,所以CD⊥AB,又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CD⊥AA1,所以CD⊥平面A1ABB1,所以CD⊥A1D.设AB=a,由题意,∠CA1D=45°,所以CD=A1D=a,所以AA1=a,所以=·a··a·a=,所以a=2,所以三棱锥F-AEC的表面积为S=×1×+×2×+××+×1×=.
