一、正余弦定理的综合应用培优点七解三角形例1：的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在中， ，由正弦定理可得，即，又，∴，∴．因为，所以两边平方可得，由，可得，解得，当且仅当时等号成立，二、正余弦定理与三角函数图象性质的综合应用又 ，∴，所以的最小值为．故选B．例2：已知函数．（1）若，求函数的值域；（2）设的三个内角，，所对的边分别为，，，若为锐角且，，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），三、三角函数模型及其应用由，得，∴，∴，即函数的值域为．（2）由，得，又由，∴，∴，解得，在中，由余弦定理，解得，由正弦定理，得， ，∴，∴，∴．例3：某动物园管理处计划利用空地建设一个开放性的三角形场地（如图），测得，，，在此三角形场地中挖去一个正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点在场地的边界线上，则人工湖面积的最小值为．【答案】【解析】由题知为直角三角形，且，且，所以，．设正三角形的边长为，，则，而，所以，，．在中，，．对点增分集训在中，由正弦定理，得，解得，所以，解得．而的面积（其中，）．因为，所以的最小值为．一、选择题1．在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，且，则的面积为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由正弦定理得，∴，∴，∴或，又，延长交于点，∴， ，∴，当时，，∴的面积为；当时，，∴的面积为，故选D．2．在中，已知，且为锐角．若，且的面积为，则的周长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】中，．解得或，又为锐角，∴．设内角，，所对的边分别为，，， ，∴，∴．又 的面积为，∴，∴， 为锐角，∴，由余弦定理得，解得，∴的周长为．3．在中，角，，所对的边分别是，，，已知，且，，则的面积是（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】依题意由，即或．当时，由正弦定理得，①由余弦定理得，②解由①②组成的方程组得，，所以三角形面积为．当时，时，三角形为直角三角形，，故三角形面积．综上所述，三角形的面积为或，故选D．4．已知函数．若锐角中角，，所对的边分别为、、，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，由，解得，，∴，又为锐角三角形，故，∴，于是的取值范围是．5．如图，公路，围成的是一块耕地，其中，在该块土地中，处有一小型建筑物，经测量，它到公路，的距离分别为，，现在要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园．为节省耕地，则工业园的最小面积为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】过点作，，垂足分别为，，连接．设，（，），则，① ，∴，∴，②由①②得，即．又，∴，解得，当且仅当，即，时取等号，∴，即工业园的最小面积为．6．在中，若，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】已知条件得，∴，∴，即，∴，∴，当且仅当时取等号，∴．7．在中，角、、的对边是，，，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】 ，∴由正弦定理化简得：，整理得，∴，∴，∴，当且仅当，即时取等号．∴可得的最小值为，故选D．8．若函数（，，）的部分图象如图所示，，分别是图象的最低点和最高点，其中．若在锐角中，，，分别是角、、的对边，且，，则周长的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由图象可得：的周期，即，得，又由于，，∴，∴，又将，代入，， ，解得，∴．由，∴或，解得或（舍去），由正弦定理，得， 是锐角三角形，，，，∴，，∴，∴周长的取值范围为．二、填空题9．如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为的建筑物，为了测量该山坡相对水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据可得．【答案】【解析】因为，，∴，在中，由正弦定理得，即，∴．在中，由正弦定理得，即，∴，∴．10．在中，为的中点，若，则的最小值是．【答案】【解析】根据为的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理得，进一步求得，∴，令，构造函数，∴，令，可知当时，．∴的最小值是．11．在中，角，，所对的边分别为，，，点为外接圆的圆心，若，且，，则的最...
