小题对点练(一)集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(建议用时：40分钟)一、选择题1．集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的真子集个数为()A．7B．8C．15D．16C[A＝{0,1,2,3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15.]2．已知集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x||x|≤3}，则A∩B＝()A．[3,4)B．(－4，－3]C．(1,3]D．[－3，－1)D[集合A＝{x|x2－3x－4＞0}＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x||x|≤3}＝{x|－3≤x≤3}．所以A∩B＝{x|－3≤x＜－1}＝[－3，－1)．故选D.]3．(2018·衡水模拟)设命题p：“∀x2＜1，x＜1”，则綈p为()A．∀x2≥1，x＜1B．∃x＜1，x0≥1C．∀x2＜1，x≥1D．∃x≥1，x0≥1B[因为全称命题的否定是存在性命题，所以綈p为∃x＜1，x0≥1，应选答案B.]4．已知p：a＜0，q：a2＞a，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈q⇒綈p且綈pD⇒/綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．]5．下列命题中假命题是()A．∃x0∈R，lnx0＜0B．∀x∈(－∞，0)，ex＞x＋1C．∀x＞0,5x＞3xD．∃x0∈(0，＋∞)，x0＜sinx0D[令f(x)＝sinx－x(x＞0)，则f′(x)＝cosx－1≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以f(x)＜f(0)，即f(x)＜0，即sinx＜x(x＞0)，故∀x∈(0，＋∞)，sinx＜x，所以D为假命题，故选D.]6．已知集合M＝{x|x≤a}，N＝{x|－2＜x＜0}，若M∩N＝∅，则a的取值范围为()A．a＞0B．a≥0C．a＜－2D．a≤－2D[ M＝{x|x≤a}，N＝{x|－2＜x＜0}，则M∩N＝∅，得a≤－2，故选D.]7．已知a，b均为正实数，且a＋b＝3，则＋的最小值为()A.B.C.D.C[ a＋b＝3，∴＋＝(a＋b)＝， a，b为正实数，∴＋≥2＝2，∴≥，当且仅当＝时等号成立，∴＋的最小值为，故选C.]8．(2018·全国名校联考)已知e为自然对数的底数，则曲线y＝xex在点(1，e)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝2ex－eD．y＝2ex－2C[因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex，曲线y＝xex在点(1，e)处的切线斜率k＝e＋1×e＝2e，切线方程为y－e＝2e(x－1)，化简得y＝2ex－e，故选C.]9．函数y＝的图象大致是()D[易知函数y＝是偶函数，可排除B，当x>0时，y＝xlnx，y′＝lnx＋1，令y′>0，得x>e－1，所以当x>0时，函数在(e－1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D正确，故选D.]10．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C[法一：当a＜0时，不等式f(a)＜1为a－7＜1，即a＜8，即a＜－3，因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1为＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)，故选C.法二：取a＝0，f(0)＝0＜1，符合题意，排除A，B，D.]11．(2018·江西重点中学联考)已知函数f(x＋1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sinx－x，设a＝f，b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为()A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．a＜b＜cA[ 函数f(x＋1)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴a＝f＝f，b＝f(3)，c＝f(0)＝f(2)．又 当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sinx－x，∴当x∈(1，＋∞)时，函数f′(x)＝cosx－1≤0，即f(x)＝sinx－x在(1，＋∞)上为减函数，∴b＜a＜c，故选A.]12．(2018·秦皇岛模拟)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧连续剧播放时长/min广告播放时长/min收视人次/万人甲70560乙60525电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min，广告的总播放时长不少于30min，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为()A.6,3B.5,2C.4,5D.2,7A[依题意得目标函数为z＝60x＋25y，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点M(6,3)处取得最大值．故选A.]二、填空题13．(2018·全国名校联考)命题“若x＜0，则ex＋x－1＜0”的逆否命题为________．若ex＋x－1≥0，则x≥0[由题意得，该命题的逆否命题为：...
