高考数学二轮复习 第2部分 必考补充专题 数学思想专项练1 函数与方程思想 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

数学思想专项练(一)函数与方程思想(对应学生用书第123页)题组1运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝()A．63B．64C．49D．56A[a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根且{an}是递增数列，故a3＝4，a1＝1，故公比q＝2，S6＝＝63.]2．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k的取值范围是()A.B．C.D．B[构造函数f(x)＝x2＋2kx－1，因为关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，所以即所以－＜k≤0，所以k的取值范围是.]3．(2017·河南郑州第一次质量预测)已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋＜t，则实数t的取值范围为()A.B．C.D．D[依题意得，当n≥2时，an＝＝＝2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，＝，数列是以为首项，为公比的等比数列，等比数列的前n项和等于＝＜，因此实数t的取值范围是，选D.]4．设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，则()A．3f(ln2)＜2f(ln3)B．3f(ln2)＝2f(ln3)C．3f(ln2)＞2f(ln3)D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定C[令F(x)＝，则F′(x)＝.因为对∀x∈R都有f(x)＞f′(x)，所以F′(x)＜0，即F(x)在R上单调递减．又ln2＜ln3，所以F(ln2)＞F(ln3)，即＞，所以＞，即3f(ln2)＞2f(ln3)，故选C.]5．已知数列{an}满足a1＝60，an＋1－an＝2n(n∈N*)，则的最小值为________.【导学号：07804145】[由an＋1－an＝2n，得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋60＝n2－n＋60.∴＝＝n＋－1.令f(x)＝x＋－1，易知f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．又n∈N*，当n＝7时，＝7＋－1＝，当n＝8时，＝8＋－1＝.又＜，故的最小值为.]6．已知函数f(x)＝x3＋(1－a2)x2－ax，其中a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(x))处的切线方程为8x＋y－2＝0，求a的值；(2)若a＝1，存在实数m，使得方程f(x)＝m恰好有三个不同的解，求实数m的取值范围．[解](1)因为f′(x)＝ax2＋(1－a2)x－a，所以f′(1)＝－8，即f′(1)＝a＋(1－a2)－a＝－8，解得a＝±3.当a＝3时，f(x)＝x3－4x2－3x，f(1)＝－6，f′(x)＝3x2－8x－3，f′(1)＝－8，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋6＝－8(x－1)，即8x＋y－2＝0.当a＝－3时，f(x)＝－x3－4x2＋3x，f(1)＝－2，f′(x)＝－3x2－8x＋3，f′(1)＝－8，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝－8(x－1)，即8x＋y－6＝0.不符合题意，舍去．故a的值为3.(2)若a＝1，则f(x)＝x3－x，f′(x)＝x2－1，当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)内为增函数，在区间(－1,1)内为减函数．故函数f(x)在x＝1处取得极小值f(1)，且f(1)＝－1＝－，函数f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)，且f(－1)＝－＋1＝.如图，分别作出函数f(x)＝x3－x与y＝m的图象，从图象上可以看出当－＜m＜时，两个函数的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝m有三个不同的解．故实数m的取值范围为.题组2利用函数方程思想解决几何问题7．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为()【导学号：07804146】A.B．C.D．－1D[设F(－c,0)，A(m，n)，则解得A.代入椭圆方程中，有＋＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以c4－8a2c2＋4a4＝0，所以e4－8e2＋4＝0，所以e2＝4±2，所以e＝－1或e＝＋1(舍去)．即椭圆C的离心率为－1.]8．已知正四棱锥SABCD中，SA＝2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A．1B．C．2D．3C[设正四棱锥SABCD的底面边长为a(a＞0)，则高h＝＝，所以体积V＝a2h＝.设y＝12a4－a6(a＞0)，则y′＝48a3－3a5.令y′＞0，得0＜a＜4；令y′＜0，得a＞4.故函数y在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减．可知当a＝4时，y取得最大值，即体积V取得最大值，此时h＝＝2，故选C.]9．如图1，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的体对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线...