11.4.2平面与平面垂直关键能力·素养形成类型一二面角的概念以及大小的计算【典例】如图所示,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小.世纪【思维·引】一方面借助侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为,求底面边长和棱锥高的关系,另一方面要作出侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,并解直角三角形求正切值.【解析】取AD中点M,连接MO,PM,因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OD,所以OM⊥AD,因为PO⊥底面ABCD,所以∠POA=∠POD=90°,所以△POA≌△POD,所以PA=PD,所以PM⊥AD,所以∠PMO是侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,因为PO⊥底面ABCD,所以∠PAO是侧棱PA与底面ABCD所成的角,所以tan∠PAO=,设正方形ABCD的边长为a,则AO=a,所以PO=AO·tan∠PAO=a×=a,所以tan∠PMO==,所以∠PMO=60°.故侧面PAD与底面ABCD所成的二面角是60°.【素养·探】在与二面角的概念及其大小计算有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,依据二面角的平面角的定义在柱、锥、台中作出二面角的平面角并计算大小.将本例的条件“侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为”改为“底面边长为a,E是PC的中点.若二面角E-BD-C为30°”,求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】取OC的中点F,连接EF,OE,如图所示,因为E为PC的中点,所以EF为△POC的中位线,所以EF∥PO,因为PO⊥底面ABCD,所以EF⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以EF⊥BD,因为OF⊥BD,EF⊥BD,OF∩EF=F,所以BD⊥平面EOF,OE⊂平面EOF,所以BD⊥OE,所以∠EOF为二面角E-BD-C的平面角,所以∠EOF=30°,因为OF=OC=AC=a,所以在Rt△EOF中,EF=OF·tan30°=a,所以OP=2EF=a,故VP-ABCD=×a2×a=a3.【类题·通】1.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.2.作二面角的平面角的方法方法一:(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.方法二:(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,连接该点与垂足,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.方法三:(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.提醒:二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.【习练·破】1.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小等于________.【解析】因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角,又∠BAC=90°.所以所求二面角的大小为90°.答案:90°2.如图,已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-B的余弦值.【解析】如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD.由二面角的定义可知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角.设点H是△BCD的重心,则AH⊥平面BCD,且点H在BM上.在Rt△AMH中,AM=×2=,HM=×2×=,则cos∠AMB==,即二面角A-CD-B的余弦值为.【加练·固】1.如图所示的二面角可记为()A.α-β-lB.M-l-NC.l-M-ND.l-β-α【解析】选B.根据二面角的记法规则可知B正确.2.如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.【解析】因为AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.在Rt△ACD中,AC=AD,所以∠ADC=30°.即平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小为30°.类型二平面与平面垂直的判定【典例】1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________.2.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,证明:平面BDD1B1⊥平面A1C1CA.世纪【思维·引】1.分这两点的连线与平面之间的关系讨论,得出不同的结论.2.依据题目条件,要证平面BDD1B1⊥平面A1C1CA,只要证BD⊥平面A1C1CA.【解析】1.设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作平面α的垂线l,若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与α垂直,此时有无数个平面与α垂直;若点B不是垂足,则l与点...
