高考数学二轮复习 专题六 解析几何 课时作业（十六）圆锥曲线的综合问题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

课时作业(十六)圆锥曲线的综合问题1．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解析：(1)由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4，所以C的方程为＋＝1.(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．2．(2017·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．解析：(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.所以抛物线C的方程为y2＝x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.因为y1＋－2x1＝＝＝＝＝0，所以y1＋＝2x1，故A为线段BM的中点．3．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB，故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.由于圆M过点P(4，－2)，因此AP·BP＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.4．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：y＝k1x－交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝.M是线段OC延长线上一点，且|MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．解析：(1)由题意知e＝＝，2c＝2，所以a＝，b＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(4k＋2)x2－4k1x－1＝0.由题意知Δ＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝|x1－x2|＝.由题意可知圆M的半径r为r＝|AB|＝.由题设知k1k2＝，所以k2＝，因此直线OC的方程为y＝x.联立方程得x2＝，y2＝，因此|OC|＝＝.由题意可知sin＝＝，而＝＝，令t＝1＋2k，则t＞1，∈(0,1)，因此＝＝＝≥1，当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±，所以sin≤，因此≤，所以∠SOT的最大值为.综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±.5．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1－y2的值及直线AB的斜率．解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为点P(1,2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①y＝4x2，②所以＝－，所以y1＋2＝－(y2＋2)．所以y1...