高中数学新题型选编70题二 人教版VIP免费

高中数学新题型选编70题二36、有穷数列{an}，Sn为其前n项和，定义为数列{an}的“凯森和”，如果有99项的数列a1、a2、a3、…、a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凯森和”=991。37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知，，求证，证明：构造函数1因为对一切xR，恒有≥0，所以≤0,从而得，（1）若，，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。解：（1）若，，求证：(4)（2）证明：构造函数(6)(9)(11)因为对一切xR，都有≥0，所以△=≤0,从而证得：.(14)38、已知两个向量，.（1）若t=1且，求实数x的值；（2）对tR写出函数具备的性质.解：（1）由已知得……2分……4分解得，或……6分（2）……8分具备的性质：①偶函数；②当即时，取得最小值（写出值域为也可）；③单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增，在递减……14分说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（，）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分39、对于集合N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=n.2n–1。(不必给出证明)40、若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆有。类似地，对于双曲线有=。41、已知（1）,求的最小值（2）P、Q关于点（1，2）对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数的图象，求曲线C的轨迹方程。（3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质由可抽象出由可抽象出(1)…………3’等号当x=2时成立，…………………………4’(2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)………………………………………………5’由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)………………………………８’(3)h(x)=_______y=2x等_______,９’φ(x)=____y=lgx等__11’42、已知函数的最大值为正实数，集合，集合。（1）求和；（2）定义与的差集：且。设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。（3）若函数中，，是（2）中较大的一组，试写出在区间[,n]上的最大值函数的表达式。答案：（1） ，配方得，由得最大值。……………………………………………………………3分∴，。…………………………6分（2）要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素。则。…………………………………………………9分②中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素。则…………………………………………………………………………12分（3）由（2）知…………………………13分………………………………………………18分43、在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b=,例如：1*2=1，3*2=2，则函数1A1A2A3A4A5B1B2B3B4BnAnAn+1234nxOy…的值域为。44、已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）顺次为一次函数图象上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形。⑴求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。解：（1）(nN),yn+1-yn=,∴{yn}为等差数列(4)（2）xn+1-xn=2为常数(6)∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差为2的等差数列，∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2...