第23讲与几何相关的应用题1.(2018南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校高三模拟)如图,OM,ON是某景区的两条道路(宽度忽略不计),其中OM为东西走向,Q为景区内一景点,A为道路OM上一游客休息区.已知tan∠MON=-3,OA=6百米,Q到直线OM,ON的距离分别为3百米,6❑√105百米.现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸与道路ON交于点B,并在B处修建一游客休息区.(1)求有轨观光直路AB的长;(2)已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型音乐喷泉组合,喷泉表演一次的时长为9分钟.表演时,喷泉喷洒区域以P为圆心,r为半径且变化,且t分钟时,r=2❑√at百米(0≤t≤9,0
0),由|3x0+3|❑√10=6❑√105,解得x0=3(舍x=-5),所以Q(3,3).故直线AQ的方程为y=-(x-6),即x+y-6=0,{y=-3x,x+y-6=0,解得x=-3,y=9,即B(-3,9).所以AB=9❑√2.(2)将喷泉记为圆P,由题意可得P(3,9),设t分钟时,观光车在直路AB上的点C处,则BC=❑√2t,0≤t≤9,所以C(-3+t,9-t).若喷泉不会洒到观光车上,则PC2>r2对t∈[0,9]恒成立,即PC2=(6-t)2+t2=2t2-12t+36>4at,当t=0时,上式成立,当t∈[0,9]时,2a
