课时分层作业(四)复数的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．－(2－i)的虚部是()A．－2B．－C．D．2C[∵－(2－i)＝－2＋i，∴其虚部是.]2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则()A．C＝R∪IB．R∪I＝{0}C．R＝C∩ID．R∩I＝∅D[复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝∅，故选D．]3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[a＋bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，此时ab＝0；反之ab＝0不能得出a＝0，b≠0.所以“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．]4．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝()A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2iB[由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.]5．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为()A．－7≤λ≤B．≤λ≤7C．－1≤λ≤1D．－≤λ≤7D[由z1＝z2，得消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4－.由于－1≤sinθ≤1，故－≤λ≤7.]二、填空题6．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.－3[依题意有解得m＝－3.]7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是__________．3－3i[3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.]8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝m2－2m－3＋(m2＋3m＋2)i(i为虚数单位)，b＝12，c＝13，∠ACB＝90°，则实数m＝________.－2[由题意知a＝＝5，∴解得m＝－2.]三、解答题9．设z＝log(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R)．(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值．[解](1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是解得1＜m＜5，且m≠4.(2)因为z是纯虚数，故其实部log(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是解得m＝2.10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．[解]∵M∪P＝P，∴M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得解得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得解得m＝2.综上可知，m＝1或m＝2.11．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于()A．kπ(k∈Z)B．2kπ＋(k∈Z)C．2kπ±(k∈Z)D．2kπ＋(k∈Z)D[由复数相等的定义可知，∴cosθ＝，sinθ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z.]12．(多选题)下列说法正确的是()A．纯虚数的平方不小于0B．i是一个无理数C．1－ai(a∈R)是一个复数D．复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等CD[纯虚数的平方，如i2＝－1＜0，故A错；∈R，故i是纯虚数，故B错C正确；D中两个复数的虚部不相等，故两个复数不可能相等，D正确，故选CD．]13．(一题两空)已知a，b∈R，若1＋(a2＋a－2)i＞a＋(3－b)i，则a＝________，b＝________.－23[∵a，b∈R,1＋(a2＋a－2)i＞a＋(3－b)i，∴∴]14．欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉提出的，根据欧拉公式可知复数e－i的虚部为________．－[因为e－i＝cos＋isin＝－i，所以复数e－i的虚部为－.]15．定义运算＝ad－bc，若(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．[解]由定义得＝3x＋2y＋yi，所以(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.因为x，y为实数，所以即解得
