课后限时集训(六十五)不等式选讲(建议用时：60分钟)A组基础达标1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.(1)解不等式f(x)＞1；(2)若存在x∈，使不等式a2－3a＞f(x)成立，求实数a的取值范围．[解](1)∵f(x)＝|2x＋1|－|x－2|，∴f(x)＝则f(x)＞1⇔或或解得x＜－4或＜x≤2或x＞2.综上，不等式f(x)＞1的解集为(－∞，－4)∪.(2)存在x∈，使不等式a2－3a＞f(x)成立⇔a2－3a＞f(x)min，x∈，由(1)知，x∈时，f(x)＝3x－1，∴当x＝－时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝－，则a2－3a＞－，解得a＜1或a＞5，∴实数a的取值范围为(－∞，1)∪(5，＋∞)．3．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．[解]由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，当且仅当＝＝c－3时等号成立，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.4．(2019·长春质检)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2.(1)求证：a2＋b2≥2；(2)求证：≥1＋.[解](1)根据重要不等式得：a2＋b2≥(a＋b)2＝2.(2)＋＝×＝＋＋≥＋＝，等号成立的条件为：＝，故≥1＋.5．已知函数f(x)＝g(x)＝af(x)－|x－1|.(1)当a＝0时，若g(x)≤|x－2|＋b对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围；(2)当a＝1时，求g(x)的最大值；[解](1)当a＝0时，g(x)＝－|x－1|，∴－|x－1|≤|x－2|＋b⇒－b≤|x－1|＋|x－2|.∵|x－1|＋|x－2|≥|x－1＋2－x|＝1，∴－b≤1，∴b≥－1.(2)当a＝1时，g(x)＝可知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝1.B组能力提升1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤.所以f(x)≥g(x)的解集为.(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．2．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．(1)求＋＋的最小值；(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.[解](1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以＋＋≥3·＝3·≥3·＝3×＝6，当且仅当＝＝且a＝b，即a＝b＝，且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.(2)证明：法一：由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(·＋·)2＝(a＋b)2＝x1x2，当且仅当＝，即x1＝x2时取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.法二：因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab)＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，当且仅当x1＝x2时，取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.
