课时作业56定点、定值、探索性问题1．过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点P(x0，y0)(y0≠0)分别作斜率为k和－k的直线l1，l2，设l1，l2分别与抛物线y2＝2px交于A，B两点，证明：直线AB的斜率为定值．证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题易知k≠0.由消去x，得y2－y＋－2px0＝0，由韦达定理得y0＋y1＝，所以y1＝－y0.①同理y0＋y2＝－，得y2＝－－y0.②由①②得y1＋y2＝－2y0，所以kAB＝＝＝＝－，故直线AB的斜率为定值．2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点M(，1)，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点P(，0)，若A，B为已知椭圆上两动点，且满足PA·PB＝－2，试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．解：(1)由题意得＝，①因为椭圆经过点M(，1)，所以＋＝1.②又a2＝b2＋c2，③由①②③解得a2＝8，b2＝c2＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)①当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，消去y，整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.由Δ>0，得8k2＋4－m2>0.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以PA·PB＝(x1－)(x2－)＋y1y2＝(x1－)(x2－)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋(km－)·(x1＋x2)＋6＋m2＝－2，得(k2＋1)x1x2＋(km－)(x1＋x2)＋8＋m2＝0，即(k2＋1)＋(km－)＋8＋m2＝0，整理得(m＋2k)2＝0，从而m＝－k，满足①，所以直线AB的方程为y＝k，故直线AB恒过定点.②当直线AB与x轴垂直时，若直线为x＝，此时点A，B的坐标分别为，，满足PA·PB＝－2，此时直线x＝也过定点.综上，直线AB恒过定点.3．(2017·河北质量监测)已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|GF|＋|CF|＝4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得OP2＝4PA·PB1成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由椭圆的对称性知|GF|＋|CF|＝2a＝4，∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，∴＝，∴bc＝，又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0，∴b＝，c＝1.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝32(6k＋3)>0，∴k>－. OP2＝4PA·PB，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，∴4[－2×＋4](1＋k2)＝4×＝5，解得k＝±，k＝－不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.1．(2017·江西联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为，直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则e＝＝，c＝1，故a2＝2，b2＝1，椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，kAB·kAC＝·＝＝＝≠，不合题意．故直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为：y＝kx＋m(m≠1)，并代入椭圆方程，得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，①由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0得2k2－m2＋1>0.②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1·x2＝，由kAB·kAC＝·＝得：4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，整理得(m－1)(m－3)＝0，又因为m≠1，所以m＝3，此时直线BC的方程为y＝kx＋3.所以直线BC恒过一定点(0,3)．2．(2017·西安质检)如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．(1)求椭圆C的标准方程；2(2)点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值...
