高中数学 第四章 函数应用 4.2.1 实际问题的函数刻画 4.2.2 用函数模型解决实际问题 4.2.3 函数建模案例学业分层测评 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题VIP免费

4.2.3函数建模案例(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.甲乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图426所示，则下列说法正确的是()图426A．甲比乙先出发B．乙比甲跑得路程更多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点【解析】由图可知，甲比乙跑的要快，比乙先到达终点，两人跑的路程相同，故选D.【答案】D2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图427所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()图427A．310元B．300元C．290元D．280元【解析】令y＝kx＋b，则解得所以y＝500x＋300，令x＝0，y＝300.故营销人员没有销售量时的收入是300元．【答案】B3.某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为()A．30B．40C．50D．60【解析】设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2500.故当x＝50台时，获利润最大．故选C.【答案】C4.如图428，开始时桶(1)中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶(2)中水就是y2＝a－ae－nt，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过()桶(1)中的水只有.图428A．7分钟B．8分钟C．9分钟D．10分钟【解析】由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝.设再经过t分钟，桶(1)中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，则＝3，解得t＝10.【答案】D二、填空题5.经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为S(t)＝________.【解析】日销售额S＝f(t)·g(t)＝(2t＋100)(t＋4)＝2t2＋108t＋400.【答案】2t2＋108t＋4006.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图429表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10min，那么y＝f(x)的解析式为________．图429【解析】由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得：y＝f(x)＝【答案】y＝三、解答题7.一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？【导学号：04100080】【解】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0＜x＜1)，则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.故每年砍伐面积的百分比为1－.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，即＝，＝，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为a(1－x)n.令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，≥，≤，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．[能力提升]1.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．【解析】L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2000＝－Q2＋30Q－2000＝－(Q－300)2＋2500，当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元．【答案】25002.销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1，y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1＝a＋m，y2＝bx，(其中m，a，b都为常数)，函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图4210所示．图4210(1)求函数y1，y2的解析式；(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．【解】(1)由题意解得a＝，m＝－，y1＝－(x≥0)．又由题意8b＝得b＝，y2＝x(x≥0)．(2)设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入(4－x)万元．令所获利润为y万元．由(1)得y＝－＋(4－x)＝－x(0≤x≤4)．令＝t(1≤t≤)，则有y＝－t2＋t＋＝－(t－2)2＋1(1≤t≤)．当t＝2即x＝3时，ymax＝1.综上，该商场所获利润的最大值为1万元．