考点集训(四十二)第42讲合情推理与演绎推理1．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为A．f(x)＝B．f(x)＝C．f(x)＝D．f(x)＝2．记Sn是等差数列{an}前n项的和，Tn是等比数列{bn}前n项的积，设等差数列{an}公差d≠0，若对小于2017的正整数n，都有Sn＝S2017－n成立，则推导出a1009＝0.设等比数列{bn}的公比q≠1，若对于小于23的正整数n，都有Tn＝T23－n成立，则A．b11＝1B．b12＝1C．b13＝1D．b14＝13．将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即a2016－5＝A．1011×2016B．1011×2015C．1011×2014D．1010×20174．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)(n∈N*且n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2016＝A．504B．1008C．0D．20165．在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝.将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为______________．6．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________________．7．已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时求导，得：2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率：k＝.试用上述方法求出双曲线x2－＝1在P(，)处的切线方程为________________．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)．(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的关系式．9．已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列；(3)设Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn>－12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．第42讲合情推理与演绎推理【考点集训】1．B2.B3.B4.C5.＝6．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2127．2x－y－＝08．【解析】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)由f(2)－f(1)＝4＝4×1.f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…得f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，…f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)，∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2n(n－1)，∴f(n)＝2n2－2n＋1.9．【解析】(1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a＝a1a3，即＝λ⇔λ2－4λ＋9＝λ2－4λ⇔9＝0.矛盾，∴{an}不是等比数列．(2)∵bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1＝－(－1)n(an－3n＋21)＝－bn.又λ≠－18，∴b1＝－(λ＋18)≠0.由上式知bn≠0，∴＝－(n∈N*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．(3)当λ≠－18时，由(2)得bn＝－(λ＋18)·，于是Sn＝－(λ＋18)·.当λ＝－18时，bn＝0，从而Sn＝0，Sn>－12恒成立．要使对任意正整数n，都有Sn>－12，即－(λ＋18)·>－12⇔λ<－18.令f(n)＝1－，则当n为正奇数时，1－12，λ的取值范围为(－∞，－6)．
