考点集训(三十六)第36讲数列模型及数列的综合应用1．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为A．2400元B．900元C．300元D．3600元2．某气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元(n∈N*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了A．600天B．800天C．1000天D．1200天3．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于A．24B．32C．48D．644．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*且a5＝，若函数f(x)＝sin2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为A．0B．－9C．9D．15．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列{an}的通项公式an＝__________．6．已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1(n∈N*)．若不等式≤对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为__________．7．设数列{an}各项均为正数，且满足{an}，an＋1＝an－a.(1)证明：对一切n≥2，都有an≤；(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，证明：当n≥2时，有S2n－Sn－1＜ln2.8．已知函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，数列{an}满足an＋1＝2f(an－1)＋1，且a1＝3，an>1.(1)设bn＝log2(an－1)，证明：数列{bn＋1}为等比数列；(2)设cn＝nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.9．已知函数f(x)＝lnx＋cosx－x的导数为f′(x)，且数列{an}满足an＋1＋an＝nf′＋3(n∈N*)．(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；(2)若对任意n∈N*，都有an＋2n2≥0成立，求a1的取值范围．第36讲数列模型及数列的综合应用【考点集训】1．A2.B3.D4.C5.n·2n6.－217．【解析】(1)∵数列{an}各项均为正数，且满足an＋1＝an－a，∴a2＝a1－a＞0，解得0＜a1＜1，当n＝2时，a3＝a2－a＝－≤，不等式成立，假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即ak≤，则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak－a＝－≤－＝＜＝，∴当n＝k＋1时，不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n≥2，都有an≤.(2)设f(x)＝ln(x＋1)－，x＞0，则f′(x)＝－＝＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)＞f(0)＝0，即ln(x＋1)＞，令x＝，代入上式，得＜ln(n＋2)－ln(n＋1)，对一切n≥2，S2n－Sn－1＝an＋an＋1＋an＋2＋…＋a2n≤＋＋＋…＋＜ln(n＋2)－ln(n＋1)＋ln(n＋3)－ln(n＋2)＋…＋ln(2n＋2)－ln(2n＋1)＝ln(2n＋2)－ln(n＋1)＝ln2.∴对一切n≥2，都有S2n－Sn－1＜ln2.8．【解析】(1)因为函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，所以b＝0，则an＋1＝2＋1，an＋1－1＝2，log2＝2log2＋1，所以＝＝＝2，又b1＋1＝log2＋1＝2，所以数列{bn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)得bn＋1＝2n，bn＝2n－1，所以cn＝n·2n－n，所以Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n－(1＋2＋3＋…＋n)，令Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，两式相减得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝·2n＋1－2，所以Sn＝·2n＋1＋2－.9．【解析】f′＝－sinx－＋，则f′＝4，故an＋1＋an＝4n＋3，(1)若数列是等差数列，则an＝a1＋d，an＋1＝a1＋nd，由an＋1＋an＝4n＋3得：＋＝4n＋3，解得：d＝2，a1＝.(2)由an＋1＋an＝4n＋3得an＋2＋an＋1＝4n＋7，两式相减得an＋2－an＝4，故数列是首项为a1，公差为4的等差数列；数列是首项为a2，公差为4的等差数列，又a1＋a2＝7，a2＝7－a1，所以an＝；①当n为奇数时，an＝2n－2＋a1，由an＋2n2≥0即2n－2＋a1＋2n2≥0，转化为a1≥－2n2－2n＋2对任意的奇数n恒成立，令f＝－2n2－2n＋2＝－2＋，∴f＝f＝－2，∴a1≥－2.②当n为偶数时，an＝2n＋3－a1，由an＋2n2≥0即2n＋3－a1＋2n≥0，转化为－a1≥－2n2－2n－3对任意的奇数n恒成立，令g＝－2n2－2n－3＝－2－，∴g＝g＝－15，∴－a1≥－15，解得a1≤15，综上，a1的取值范围是[－2，15]．
