高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 课时达标检测（五十一）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

课时达标检测(五十一)圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一、全员必做题1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若·＝2，且⊥.(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与直线x＝分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标．解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，则C.由题意得即即解得从而a2＝4，故所求椭圆的方程为＋＝1.(2)证明：由(1)得A1(－2,0)，A2(2,0)，设Q(x0，y0)，易知x0≠±2，则直线QA1的方程为y＝(x＋2)，与直线x＝的交点E的坐标为，，直线QA2的方程为y＝(x－2)，与直线x＝的交点F的坐标为，设以EF为直径的圆与x轴交于点H(m,0)，m≠，则HE⊥HF，从而kHE·kHF＝－1，即·＝－1，即＝－2，①由＋＝1得y＝.②所以由①②得m＝±1，故以EF为直径的圆与x轴交于定点，且该定点的坐标为或.2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E：＋y2＝1上的非坐标轴上的点，且4kOA·kOB＋1＝0(kOA，kOB分别为直线OA，OB的斜率)．(1)证明：x＋x，y＋y均为定值；(2)判断△OAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：(1)证明：依题意，x1，x2，y1，y2均不为0，则由4kOA·kOB＋1＝0，得＋1＝0，化简得y2＝－，因为点A，B在椭圆上，所以x＋4y＝4①，x＋4y＝4②，把y2＝－代入②，整理得(x＋4y)x＝16y.结合①得x＝4y，同理可得x＝4y，从而x＋x＝4y＋x＝4，为定值，y＋y＝y＋＝1，为定值．(2)S△OAB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝··＝··＝＝|x1y2－x2y1|.由(1)知x＝4y，x＝4y，易知y2＝－，y1＝或y2＝，y1＝－，S△OAB＝|x1y2－x2y1|＝＝＝1，因此△OAB的面积为定值1.3．(2017·河北质量检测)已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)，且a＞b＞c＞0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由椭圆的对称性知||＋||＝2a＝4，∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，∴＝，∴bc＝，又a2＝b2＋c2＝4，a＞b＞c＞0，∴b＝，c＝1.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，∴Δ＝32(6k＋3)＞0，∴k＞－.x1＋x2＝，x1x2＝， 2＝4·，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，∴4(1＋k2)＝4×＝5，解得k＝±，k＝－不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.二、重点选做题1．A为曲线y＝－上任意一点，点B(2,0)为线段AC的中点．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M，N两点，在圆x2＋y2＝1上是否存在一点P，使得PM，PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设C(x，y)，A(m，n)，因为B(2,0)是AC的中点，所以所以又n＝－，所以所求方程为x2＝4y.(2)假设存在点P(x0，y0)，设M，N，直线MN的方程为y＝kx＋1，联立得x2－4kx－4＝0，则切线PM的方程为y－＝(x－x1)，将点P(x0，y0)代入化简得x－2x1x0＋4y0＝0，同理得x－2x2x0＋4y0＝0，所以知x1，x2是方程x2－2x0x＋4y0＝0的两根，则x1x2＝4y0＝－4，所以y0＝－1，代入圆的方程得x0＝0，所以存在点P(0，－1)，使得PM，PN分别为轨迹E的切线．2．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为，动直线y＝x＋m交椭圆M于不同的两点A，B，T(1,1)．(1)求椭圆M的标准方程；(2)试问：△TAB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得＝，b＝1，又a2＝b2＋c2，所以a＝，c＝1，椭圆M的标准方程为＋y2＝1.(2)由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.由题意得，Δ＝16m2－24(m2－1)>0，即m2－3<0，所以－