专题三数列第二讲数列求和及综合应用2．转化法．有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．3．错位相减法．这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．4．倒序相加法．这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，把它与原数列相加，若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．5．裂项相消法．利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．1．应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．2．数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决此类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式求解．3．解应用问题的基本步骤．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(√)(2)当n≥2时，＝.(√)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋……＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(×)(4)数列的前n项和为n2＋.(×)(5)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(√)(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋……＋sin288°＋sin289°＝44.5.(√)1．(2015·福建卷)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于(D)A．6B．7C．8D．9解析：不妨设a>b，由题意得∴a>0，b>0，则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列，∴∴∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.2．(2015·新课标Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(A)A．5B．7C．9D．11解析：解法一 a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故选A.解法二 a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.3．在数列{an}中，an＝，则：(1)数列{an}的前n项和Sn＝__________；(2)数列{Sn}的前n项和Tn＝__________．解析：(1)an＝＝＝×Sn＝×[(1×2×3－0×1×2)＋(2×3×4－1×2×3)＋(3×4×5－2×3×4)＋…＋n×(n＋1)×(n＋2)－(n－1)×n×(n＋1)]＝.(2)Sn＝＝＝×[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]Tn＝×[(1×2×3×4－0×1×2×3)＋(2×3×4×5－1×2×3×4)＋…＋n×(n＋1)×(n＋2)×6(n＋3)－(n－1)×n×(n＋1)×(n＋2)]＝.答案：(1)(2)4．(2015·江苏卷)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{}前10项的和为________．解析：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.又 a1＝1，∴an＝(n≥2)． 当n＝1时也满足此式，∴an＝(n∈N*)．∴＝＝2(－)．∴S10＝2(－＋－＋…＋－)＝2×(1－)＝.答案：一、选择题1．已知等差数列{an}前n项和为Sn，若a1＋a2012＝1，a2013＝－1006，则使Sn取最值时n的值为(D)A．1005B．1006C．1007D．1006或10072．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a3＋a7＝－6，则当Sn取最小值时，n＝(D)A．9B．8C．7D．63．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是(C)A．T10B．T13C．T17D．T25解析： a3a6a18＝a1q2·a1q5·a1q17＝(a1q8)3＝(a9)3为定值．∴T17＝a1a2…a17＝(a1q8)17＝(a9)17也是定值．4．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋...
