高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第10讲 定点、定值、探索性问题分层演练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第10讲定点、定值、探索性问题1．(2019·郑州质量预测(一))已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则OM·ON的值为()A．3B.4C．5D．与P的位置有关解析：选A.依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x－4y＝4，则直线l的方程是－y0y＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.①当y0＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2.由，得，此时OM·ON＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l的方程是x＝－2时，OM·ON＝3.②当y0≠0时，直线l的方程是y＝(x0x－4)．由，得(4y－x)x2＋8x0x－16＝0(*)，又x－4y＝4，因此(*)即是－4x2＋8x0x－16＝0，x2－2x0x＋4＝0，x1x2＝4，OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2－x1x2＝x1x2＝3.综上所述，OM·ON＝3，选A.2．(2019·湖南湘中名校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA＋FB＋FC＝0，则则＋＋＝________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由FA＋FB＝－FC，得y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝＝，所以kAC＝，kBC＝，所以＋＋＝＋＋＝0.答案：03．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA·OB＝－16，求证：直线AB恒过定点．解：(1)设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y.所以E的方程为x2＝8y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4，所以直线AB恒过定点(0，4)．4．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A，B两点．当m＝0时，PA·PB＝－.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：|PA|2＋|PB|2为定值．解：(1)因为离心率为，所以＝.当m＝0时，l的方程为y＝x，代入＋＝1并整理得x2＝.设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，PA·PB＝－x－y＝－x＝－·.又因为PA·PB＝－，所以a2＝25，b2＝16，椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：l的方程为x＝y＋m，代入＋＝1，并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，同理|PB|2＝y.则|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝·＝41.所以|PA|2＋|PB|2为定值．1．(2019·长沙模拟)如图，P是直线x＝4上一动点，以P为圆心的圆Γ过定点B(1，0)，直线l是圆Γ在点B处的切线，过A(－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．(1)求证：|EA|＋|EB|为定值；(2)设直线l交直线x＝4于点Q，证明：|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.证明：(1)设AE切圆Γ于点M，直线x＝4与x轴的交点为N，故|EM|＝|EB|.从而|EA|＋|EB|＝|AM|＝＝＝＝＝4.所以|EA|＋|EB|为定值4.(2)由(1)同理可知|FA|＋|FB|＝4，故E，F均在椭圆＋＝1上．设直线EF的方程为x＝my＋1(m≠0)．令x＝4，求得y＝，即Q点纵坐标yQ＝.由得，(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则有y1＋y2＝－，y1y2＝－.因为E，B，F，Q在同一条直线上，所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|等价于(yB－y1)(yQ－y2)＝(y2－yB)(yQ－y1)，即－y1·＋y1y2＝y2·－y1y2，等价于2y1y2＝(y1＋y2)·.将y1＋y2＝－，y1y2＝－代入，知上式成立．所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.2．(2019·广州综合测试(一))过点P(a，－2)作抛物线C：x2＝4y的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)证明：x1x2＋y1y2为定值；(2)记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．解：(1)证明：由x2＝4y，得y＝x2，所以y′＝x，所以直线PA的斜率为x1.因为点A(x1，y1)在抛物线C上，所以y1＝x，所以直线PA的方程为y－x＝x1(x－x1)．因为点P(a，－2)在直线PA上，所以－2－x＝x1(a－x1)，即x－2ax1－8＝0.同理，x－2ax2－8＝0.所以x1，x2是方程x2－2ax－8＝0的两个根，所以x1x2＝－8.又y1y2＝x·x＝(x1x2)2＝4，所以x1x2＋y1y2＝－4，为定值．(2)直线PA的垂直平分线方程为y－＝－，由于y1＝x，又由(1)得x－8＝2ax1，所以直线PA的垂直平分线方程为y－＝－.①同理，直线PB的垂直平分线方程为y－＝－.②由①②解得x＝a，y＝1＋，所以点M.抛物线C的焦点为F(0，1)，则MF＝，PF＝(－a，3)，所以MF·PF＝－＝0，所以MF⊥PF，所以以PM为直径的圆恒过点F.