第一节数列的概念与简单表示法A级·基础过关|固根基|1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是()A．an＝n2－(n－1)B．an＝n2－1C．an＝D．an＝解析：选C观察数列1，3，6，10，…可以发现1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝.所以an＝.2．已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n，则数列的通项公式an＝()A.B．2nC．2n－1D．2n－1－1解析：选Clog2(Sn＋1)＝n⇒Sn＋1＝2n⇒Sn＝2n－1.所以an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝S1＝2－1＝1，适合an＝2n－1(n≥2)，因此an＝2n－1.故选C.3．《九章算术》是中国古代的数学专著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问需几日相逢()A．9B．8C．16D．12解析：选A由题意可知，良马每日行程an构成数列{an}，a1＝103，d＝13，驽马每日行程bn构成数列{bn}，b1＝97，d′＝－，假设第n天相逢，由题意知103n＋n(n－1)＋97n－n(n－1)＝1125×2，解得n＝9，故选A.4．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B|an＋1|>an⇔an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.5．(2019届广东惠州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，则＝()A.B.C.D.解析：选A因为Sn＝2an－1，所以当n＝1时，a1＝2a1－1，解得a1＝1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，化为an＝2an－1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，即an＝2n－1，所以a6＝25＝32，S6＝＝63，则＝.故选A.6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，则an＝________．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n－1)＝4n－1.当n＝1时，a1＝S1＝3＝4×1－1.所以an＝4n－1.答案：4n－117．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2020＝________．解析： a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，∴可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2020＝a2＝0.答案：08．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，当n＝1时，a1＝6；当n≥2时，故当n≥2时，an＝，当n＝1时，1＋2＝3≠a1，所以an＝答案：an＝9．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)令n＝1，得a－(2a2－1)a1－2a2＝0，解得a2＝.令n＝2，得a－(2a3－1)a2－2a3＝0，解得a3＝.(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以＝.故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.10．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)可得a1＝a＋a1，解得a1＝1，S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2，同理，a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝＋a，①当n≥2时，Sn－1＝＋a，②由①－②得，(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.B级·素养提升|练能力|11.(2019届山西晋中高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2018这2018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有()A．98项B．97项C．96项D．95项2解析：选B能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，...
