圆锥曲线之二面积问题已知抛物线：的焦点在抛物线：上，点是抛物线上的动点．（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．【答案】（1）的方程为其准线方程为；（2）2．【解析】（1）的方程为其准线方程为．（2）设，，，则切线的方程：，即，又，所以，同理切线的方程为，又切线、都过点，所以，所以直线的方程为.联立得，所以．所以．点到直线的距离．所以的面积，所以当时，取最小值为2．即面积的最小值为2.一、（2018福建厦门外国语学校高三下学期第一次考试）已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，直线与直线垂直，垂足为点，且点是线段的中点.（1）求椭圆的方程；（2）如图，若直线：与椭圆交于，两点，点在椭圆上，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，椭圆的左顶点，上顶点，直线的斜率，得．因为点是线段的中点，∴点的坐标是，由点在直线上，∴，且，解得，，∴椭圆的方程为.（2）设，，，将代入消去并整理得，二、(2018湖北七市教研协作高三3月联考)则，，，∵四边形为平行四边形，∴，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，，∴平行四边形的面积为.故平行四边形的面积为定值.如图，已知椭圆：，其左右焦点为、，过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于、两点，且、、构成等差数列．三、(2018河北武邑中学高三下学期开学考试)（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为，（为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由．【答案】（1）椭圆的方程为；（2）方程为.【解析】（1）因为、、构成等差数列，所以，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与，轴垂直．设方程为，将其代入，整理得，设，，所以，故点的横坐标为，所以，设，因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则，∴，整理得，因此，，所以存在直线，方程为．
