高考数学大一轮复习 第五章 数列 第三节 等比数列教师用书 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第三节等比数列☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.理解等比数列的概念；2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；3.了解等比数列与指数函数的关系。2016，全国卷Ⅲ，17,12分(等比数列的证明、通项公式)2016，全国卷Ⅰ，15,5分(等比数列有关最值问题)2015，全国卷Ⅱ，4,5分(等比数列的计算)2015，全国卷Ⅱ，17,12分(等比数列的判定、基本运算与性质)主要以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本运算与简单性质。解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查。微知识小题练自|主|排|查1．等比数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。②符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)。(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab。2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1。(2)前n项和公式：Sn＝q≠1。3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)。(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq。特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a。(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)。(4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列。(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk。微点提醒1．等比数列的概念的理解(1)等比数列中各项及公比都不能为零。(2)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0。(3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同。2．等比数列{an}的单调性(1)满足或时，{an}是递增数列。(2)满足或时，{an}是递减数列。(3)当时，{an}为常数列。(4)当q<0时，{an}为摆动数列。小|题|快|练一、走进教材1．(必修5P68B组T1(1)改编)等比数列{an}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log35【解析】 a4a7＝a5a6，∴a5a6＝9，又log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝10。故选B。【答案】B2．(必修5P62B组T2改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________。【解析】S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，由＝知S6＝S3，则S＝S3·(S9－S6)，所以S9＝S3，所以＝。【答案】二、双基查验1．等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32【解析】a2·a6＝a＝16。故选C。【答案】C2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．128D．243【解析】q＝＝2，故a1＋a1q＝3⇒a1＝1，a7＝1×27－1＝64。故选A。【答案】A3．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【解析】根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1。由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元。故选B。【答案】B4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________。【解析】 S3＋3S2＝0，∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，∴a1(4＋4q＋q2)＝0。 a1≠0，∴q＝－2。【答案】－25．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________。【解析】解法一：各项均为正数的等比数列{an}中a10a11＝a9a12＝…＝a1a20，则a1a20＝e5，lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a20)10＝lne50＝50。解法二：各项均为正数的等比数列{an}中a10a11＝a9a12＝…＝a1a20，则a1a20＝e5，设l...