大题分层练(一)三角、数列、概率统计、立体几何(A组)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,·=3.(1)求△ABC的面积.(2)若c=1,求a的值.【解析】(1)cosA=2cos2-1=2×-1=,又A∈(0,π),sinA==,而·=||·||·cosA=bc=3,所以bc=5,所以△ABC的面积为:bcsinA=×5×=2.(2)由(1)知bc=5,而c=1,所以b=5,所以a===2.2.已知{an}是等差数列,{bn}是各项均为正数的等比数列,且b1=a1=1,b3=a4,b1+b2+b3=a3+a4.(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.【解析】(1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,依题意得解得d=1,q=2,所以an=1+(n-1)=n,bn=1×2n-1=2n-1.(2)由(1)知cn=anbn=n·2n-1,则Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1①2Tn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n②①-②得:-Tn=1·20+1·21+1·22+…+1·2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-1.所以Tn=(n-1)·2n+1.3.天然气是较为安全的燃气之一,它不含一氧化碳,也比空气轻,一旦泄露,立即会向上扩散,不易积累形成爆炸性气体,安全性较高,其优点有:①绿色环保;②经济实惠;③安全可靠;④改善生活.某市政府为了节约居民天然气,计划在本市试行居民天然气定额管理,即确定一个居民年用气量的标准,为了确定一个较为合理的标准,必须先了解全市居民日常用气量的分布情况,现采用抽样调查的方式,获得了n位居民某年的用气量(单位:立方米),样本统计结果如图表.分组频数频率[0,10)25[10,20)0.19[20,30)50[30,40)0.23[40,50)0.18[50,60]5(1)分别求出n,a,b的值.(2)若从样本中年均用气量在[50,60](单位:立方米)的5位居民中任选2人作进一步的调查研究,求年均用气量最多的居民被选中的概率(5位居民的年均用气量均不相等).【解析】(1)用气量在[20,30)内的频数是50,频率是0.025×10=0.25,则n==200.用气量在[0,10)内的频率是=0.125,则b==0.0125.用气量在[50,60]内的频率是=0.025,则a==0.0025.(2)设A,B,C,D,E代表用气量从多到少的5位居民,从中任选2位,总的基本事件为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个;包含A的有AB,AC,AD,AE共4个,所以P==.4.如图(1),五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图(2),将△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD.点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.(1)求证:平面PAD⊥平面PCD.(2)若直线PC与AB所成角的正切值为,设AB=1,求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)取PD的中点N,连接AN,MN,则MN∥CD,MN=CD,又因为AB∥CD,AB=CD,所以MN∥AB,MN=AB,则四边形ABMN为平行四边形,所以AN∥BM,又BM⊥平面PCD,所以AN⊥平面PCD,又因为AN⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PCD.(2)取AD的中点O,连接PO,因为AN⊥平面PCD,所以AN⊥PD,AN⊥CD.由ED=EA即PD=PA及N为PD的中点,可得△PAD为等边三角形,所以∠PDA=60°,PO⊥AD,又∠EDC=150°,所以∠CDA=90°,所以CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,CD⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.所以AD=平面PAD∩平面ABCD,PO⊂平面PAD,PO⊥AD,所以PO⊥平面ABCD,所以PO是四棱锥P-ABCD的高.因为AB∥CD,所以∠PCD为直线PC与AB所成的角,由(1)可得∠PDC=90°,所以tan∠PCD==,所以CD=2PD,由AB=1,可知CD=2,PA=AD=AB=1,则VP-ABCD=PO·S四边形ABCD=.
