第五讲相互独立事件【套路秘籍】---千里之行始于足下1.对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件．2.若A与B相互独立，则．3.若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．4.若，则A与B相互独立．【温馨提示】①中至少有一个发生的事件为A∪B；②都发生的事件为AB；③都不发生的事件为；④恰有一个发生的事件为；⑤至多有一个发生的事件为.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一独立重复事件【例1】某小区停车场的收费标准为：每车每次停车的时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人独立来该停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示.停车时间取车概率停车人员(0,2](2,3](3,4](4,5]甲xxx乙y0(1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E(ξ)．【答案】（1）（2）见解析【解析】(1)由题意，得＋3x＝1，所以x＝.＋＋y＝1，所以y＝.记甲、乙两人所付停车费相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.所以甲、乙两人所付停车费相同的概率为.(2)ξ可能取的值为0,1,2,3,4,5，P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝3)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝4)＝×＋×＝，P(ξ＝5)＝×＝.所以ξ的概率分布为ξ012345P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.【套路总结】求相互独立事件同时发生的概率(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；【举一反三】1.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E(ξ)，方差V(ξ)．【答案】见解析【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为＝，＝.两人都付0元的概率为P1＝×＝，两人都付40元的概率为P2＝×＝，两人都付80元的概率为P3＝×＝，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝40)＝×＋×＝，P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝120)＝×＋×＝，P(ξ＝160)＝×＝.所以ξ的概率分布为ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.V(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.2．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的概率分布和均值；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【答案】见解析【解析】(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝××＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝.所以随机变量X的概率分布为X0123PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝×＋×＝.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.考向二均值与方差在决策中的应用【例2】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相...
