充要条件中常见题型例析一、单个判断问题关键是考察给定的两个条件中,看哪个能推出哪一个.例1①;②或;③;④且.是“若,则”的充分条件,但不是必要条件.解析:由题意知“充分条件,但不是必要条件”是指:选项已知,但已知选项.据此考察四个选项:①同号;②或;③,但;④且,但且.故填③,④.二、多重判断问题关键是将所有充分(必要)条件用“”表示,画出它们的关系网络图,再找要求的两个条件之间的互推关系.例2已知都是的必要条件,是的充分条件,是的充分条件,则是的条件.解析:由题意画出关系网络图,如右图:是的必要条件.三、条件证明问题例3求证:关于的方程有一个根为1的充要条件是.解析:关键是要弄清条件和结论之间的关系,分两步证明,即证充分性(由条件推出结论)和必要性(由结论推出条件).先证充分性(也可写为:证“”),即,。,或.故关于的方程有一个根为1.再证必要性(也可写为:证“”)是方程的根,,即.综合以上证明得,关于的方程有一个根为1的充要条件是.四、条件求解问题求充要条件问题一般有两种处理方法,一是将题意等价转化,化简求得:二是先由题意求出条件,再证明充分性.用心爱心专心1例4设为的三边,求方程与有公共根的充要条件.解析:先由题意求出条件:设是两方程的公共根,显然,则,①②①+②,得,代入①,得,即.以上求条件的过程事实上就是必要性的证明过程.再证明充分性:,方程可化为,它的解为,.同理方程可化为,它的解为,.,方程与有公共根.综上所述得,方程与有公共根的充要条件是.用心爱心专心2