课时作业55最值、范围、证明问题1．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3
(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2
由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B
又G(－1,0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．2．(2017·湖北黄冈一模)如图，已知点F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2＝λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D
设AB，CD的斜率分别为k，k′
1(1)求证：k·k′为定值；(2)求|AB|·|CD|的最大值．解：(1)证明：因为点F1，F2是椭圆C1的两个焦点，故F1，F2的坐标是F1(－1,0)，F2(1,0)．而点F1，F2是椭圆C2上的点，将F1，F2的坐标代入C2的方程得，λ＝
设点P的坐标是(x0，y0)， 直线PF1和PF2的斜率分别是k，k′(k≠0，k′≠0)，∴kk′＝·＝①又点P是椭圆C2上的点，故＋y＝，②联立①②两式可得kk′＝－，即k·k′为定值．(2)直线PF1的方程可表示为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆C1的方程联立，得到方程组由方程组得(1＋2k2)
