课时作业55最值、范围、证明问题1．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1,0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．2．(2017·湖北黄冈一模)如图，已知点F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2＝λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设AB，CD的斜率分别为k，k′.1(1)求证：k·k′为定值；(2)求|AB|·|CD|的最大值．解：(1)证明：因为点F1，F2是椭圆C1的两个焦点，故F1，F2的坐标是F1(－1,0)，F2(1,0)．而点F1，F2是椭圆C2上的点，将F1，F2的坐标代入C2的方程得，λ＝.设点P的坐标是(x0，y0)， 直线PF1和PF2的斜率分别是k，k′(k≠0，k′≠0)，∴kk′＝·＝①又点P是椭圆C2上的点，故＋y＝，②联立①②两式可得kk′＝－，即k·k′为定值．(2)直线PF1的方程可表示为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆C1的方程联立，得到方程组由方程组得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.|AB|＝|x1－x2|＝·＝.同理可求得|CD|＝，则|AB|·|CD|＝＝4≤，当且仅当k＝±时等号成立．故|AB|·|CD|的最大值等于.3．已知以A为圆心的圆(x－2)2＋y2＝64上有一个动点M，B(－2,0)，线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|＋|FG|的取值范围．解：(1)连接PB，依题意得|PB|＝|PM|，所以|PB|＋|PA|＝|AM|＝8，所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，4为长半轴长的椭圆，所以a＝4，c＝2，则b＝2.所以轨迹E的方程是＋＝1.(2)当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|＋|FG|＝6＋8＝14；当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，联立整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－48＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴|DE|＝＝·＝，同理可得|FG|＝，2∴|DE|＋|FG|＝，设t＝k2＋1，则t>1，所以|DE|＋|FG|＝，当t>1时，易证y＝在(1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减，所以0b>0)与抛物线C2：x2＝2py(p>0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一坐标是(，－2)的交点．(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；(2)若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围．解：(1)抛物线C2的准线方程是y＝－2，所以＝2，p＝4，所以抛物线C2的方程是x2＝8y.由题意知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的焦点是(0，－2)，(0,2)，所以c＝2,2a＝＋＝4，所以a＝2，所以b＝2，所以椭圆C1的方程是＋＝1.(2)设点P(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，F(x4，y4)，抛物线方程可以化为y＝x2，得y′＝x，所以直线AP的方程为y－y1＝x1(x－x1)，所以－2－y1＝x1t－2y1，即y1＝tx1＋2，同理，直线BP的方程为y2＝tx2＋2，所以直线AB的方程为y＝tx＋2，将直线AB的方程代入椭圆C1的方程得，(t2＋32)x2＋16tx－64＝0，则Δ＝256t2＋256(t2＋32)>0，且x3＋x4＝，x3x4＝，所以OE·OF＝x3x4＋y3y4＝x3x4＋(x3＋x4)＋4＝＝－8.因为0<≤10，所以OE·OF的取值范围是(－8,2]．2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.(ⅰ)设直线PM，QM的斜率分别为...
