第二节不等式的证明A组基础题组1.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤;(2)++≥1.2.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M.(1)证明:<;(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小.3.(2017湖南湘中名校联考)已知关于x的不等式|x+a|b>c>d.求证:++≥.B组提升题组1.求证:+++…+<2.2.设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:(1)a+b+c≥;(2)++≥(++).3.(2017四川成都第二次诊断性检测)已知函数f(x)=4-|x|-|x-3|.(1)求不等式f≥0的解集;(2)若p,q,r为正实数,且++=4,求3p+2q+r的最小值.4.已知a是常数,对任意实数x,不等式|x+1|-|2-x|≤a≤|x+1|+|2-x|都成立.(1)求a的值;(2)设m>n>0,求证:2m+≥2n+a.答案精解精析A组基础题组1.证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.2.解析(1)证明:记f(x)=|x-1|-|x+2|,则f(x)=由题意,令-2<-2x-1<0,得-0,所以|1-4ab|2>4|a-b|2,故|1-4ab|>2|a-b|.3.解析(1)由|x+a|0,因此要证a+b+c≥,只需证明(a+b+c)2≥3.即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,而ab+bc+ca=1,故只需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca).即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.而这可以由ab+bc+ca≤++=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.所以原不等式成立.(2)++=.在(1)中已证a+b+c≥,因此要证原不等式成立,只需证明≥++,即证a+b+c≤1,因为a=≤,b≤,c≤,所以a+b+c≤ab+bc+ca(当且仅当a=b=c=时等号成立).所以原不等式成立.3.解析(1)f=4--≥0.根据绝对值的几何意义,得+表示点(x,0)到A,B两点的距离之和.接下来找出到A,B的距离之和为4的点.将点A向左移动个单位到点A1(-2,0),这时有|A1A|+|A1B|=4;同理,将点B向右移动个单位到点B1(2,0),这时有|B1A|+|B1B|=4.∴+≤4,即f≥0的解集为[-2,2].(2)令a1=,a2=,a3=.由柯西不等式,得·(++)≥.即(3p+2q+r)≥9.∵++=4,∴3p+2q+r≥,当且仅当===,即p=,q=,r=时,取等号.∴3p+2q+r的最小值为.4.解析(1)令f(x)=|x+1|-|2-x|,则f(x)=∴f(x)的最大值为3.∵对任意实数x,|x+1|-|2-x|≤a都成立,即f(x)≤a恒成立,∴a≥3.令h(x)=|x+1|+|2-x|,则h(x)=∴h(x)的最小值为3.∵对任意实数x,|x+1|+|2-x|≥a都成立,即h(x)≥a恒成立,∴a≤3,∴a=3.(2)证明:由(1)知a=3.∵2m+-2n=(m-n)+(m-n)+,且m>n>0,∴(m-n)+(m-n)+≥3=3,∴2m+≥2n+a.
