高考数学复习点拨 全称量词与存在量词知识点击VIP免费

全称量词与存在量词知识点击一．知识点点击1.全称量词（）：对所有的、对任意一个、对一切、对每一个、任给．存在量词（）：存在一个、至少有一个、有些、对某个、有的、有些．2．全称命题：含有全称量词的命题。特称命题：含有存在量词的命题如果用p(x)、q(x)、r(x)…表示含有变量x的语句，变量x的取值范围用M表示．那么全称命题：“对x∈M,有p(r)成立”（简记成x∈M,p（x））特称命题：“x∈M，使P(x)成立”（简记成：x∈M,p(x))3．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，在应用中灵活选择．4.对于特称命题和全称命题进行否定时要仔细推敲，认真对待．如：命题“有些三角形是直角三角形，即：三角形x，x是直角三角形，其否定为：三角形x,x都不是直角三角形，即：没有一个三角形是直角三角形．又如命题：所有的质数都是奇数．即：质数x,x是奇数．它的否定只要举出一个反例x=2.因此，其否定为：质数x,x不是奇数．也就是说：确实有不是奇数的质数．从命题的形式上看，全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．二．典例剖析例1.判定下列命题的真假：（1)x∈Q，使x2=2；(2）x∈R，使x2<1;（3）x∈N，有x3＞x2；(4)x∈R,有x2+1>0.分析：要判定一个特称命题真，只要在限定集合中至少找到一个x=x0值，使p(x0)成立，否则，这一命题则假．要判定一个全称命题真，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立；但要判定全称命题假，只要能举出M中一个x=x0，使p(x0）为假．解：（1）∵使x2=2成立的实数只有2，而2Q，∴没有一个有理数x，使x2=2.可见命题“x∈Q，使x2=2”是假命题．(2）由于x∈R，取x=-1，满足x3＜1.因此命题“x∈R，使x2<1”是真命题．(3）∵x=1时，x3＞x2不成立．∴命题“x∈N，有x3＞x2”是假命题．(4)由于对x∈R，都有x2≥0x2+1≥1>0．因此命题“x∈R,有x2+1>0”是真命题．例2．试写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)命题P：所有的菱形都是正方形．命题全称命题x∈M，p(x)特称命题“x∈M,p(x)表述方法①所有的x∈M,使P(x)成立①存在x∈M,使p(x)成立②对一切x∈M，使p(x)成立②至少有一个x∈M，使p(x)成立③对每一个x∈M，使p(x)成立③对有些x∈M,使P(x)成立④任给一个x∈M，使P(x)成立④对某个x∈M,使p(x)成立⑤若x∈M,则p(x)成立⑤有一个x∈M,使P(x)成立(2)命题q：对任何实数x，总有x2一2x+1≥0成立．(3)命题r：至少有一个实数x，使x2-2=0成立．（4）命题s：x∈R，使x2＋2x＋2≤0成立．分析：(1)、(2)是全称命题，其否定应为特称命题．(3）、（4)是特称命题，其否定应为全称命题．解：（l）¬P：一个菱形，它不是正方形．∵由两个全等的等边三角形拼成的菱形就不是正方形，∴¬p是真命题．（2）q：x∈R．、x2-2x+1＜0．∵x2-2x+1=（x-1）2≥0对x∈R都成立．∴¬q是假命题．（3）¬r：x∈R，x2-2≠0．∵存在x=2，使x2-2=0，∴¬r是假命题．（4)¬S：x∈R，x2＋2x＋2＞0．∵x2＋2x＋2=（x＋1)2＋1，(x+1)2≥0，∴对x∈R，都有x2＋2x＋2=≥1＞0.可见¬S是真命题．