江西省高安灰埠中学2016年高考数学复习专题解析几何理1.如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．图15解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2，∴a＝2，b＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点P的坐标为(xP，yP)， 直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得xP＝，从而yP＝，∴点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．∴AP＝(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)． AP⊥AQ，∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0， k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.经检验，k＝－符合题意，故直线l的方程为y＝－(x－1)．方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．2.如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．图15解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2，∴a＝2，b＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点P的坐标为(xP，yP)， 直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得xP＝，从而yP＝，∴点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．∴AP＝(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)． AP⊥AQ，∴AP·AQ＝0，即[k－4(k＋2)]＝0， k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.经检验，k＝－符合题意，故直线l的方程为y＝－(x－1)．方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．3.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.又b2＝a2－c2，则＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为＋＝1.设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)，有F1P＝(x0＋c，y0)，F1B＝(c，c)．由已知，有F1P·F1B＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①又因为点P在椭圆上，所以＋＝1.②由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.代入①得y0＝，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±，所以直线l的斜率为4＋或4－.4.如图16，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.图16解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.由于l与C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为.又点P在第一象限，故点P的坐标为P.(2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离d＝，整理得d＝.因为a2k2＋≥2ab，所以≤＝a－b，当且仅当k2＝时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.5.如图14所示，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积...
