2017高考数学一轮复习第十八章不等式选讲18.1不等式的性质和绝对值不等式对点训练理1．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1,4)D．(1,5)答案A解析当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x≤5时，不等式可化为x－1＋(x－5)<2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x>5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.2．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．答案解析设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝可得最小值为，根据条件可得a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤.3．若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.答案－3解析由不等式的解集可知－，为不等式对应的方程|ax－2|＝3的根，即，解得a＝－3.4.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1
0，解得0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．5．已知关于x的不等式|x＋a|0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．解(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c.当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.1(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为.7．解不等式x＋|2x＋3|≥2.解原不等式可化为或解得x≤－5或x≥－.综上，原不等式的解集是.8.设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．解(1)证明：∵a>0，∴f(x)＝＋|x－a|≥－(x－a)＝＋a＝a＋≥2＝2.当且仅当a＝1时取等号，∴f(x)≥2.(2)∵f(3)<5，∴＋|a－3|<5，即＋3＋|a－3|<5，∴－20，b>0，且＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解(1)由＝＋≥，得ab≥2，当a＝b＝时，“＝”成立．故a3＋b3≥2≥4，当a＝b＝时，“＝”成立．∴a3＋b3的最小值为4.(2)2a＋3b≥2≥4.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.10．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋xf2(x)≤.解(1)f(x)＝当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1，得x≤，∴1≤x≤.当x<1时，由f(x)＝1－x≤1，得x≥0，∴0≤x<1.∴f(x)≤1的解集为M＝.(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，得162≤4，∴－≤x≤.∴N＝，∴M∩N＝.当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，∴x2f(x)＋xf2(x)＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－2≤.故要证的不等式成立．2
