中档大题满分练8.立体几何(B组)中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.如图,在多面体AEDBC中,BD⊥平面ABC,AE∥BD,AB⊥AC,BC=BD=2AE,直线CD与平面ABDE所成的角为30°,M为CD的中点.(1)求证:平面BCD⊥平面CDE.(2)求二面角C-BE-M的大小.【解析】(1)连接AD,取BC的中点O,连接AO,OM.因为BD⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以BD⊥AC,又AB⊥AC,BD∩AB=B,所以AC⊥平面ABDE,则∠CDA为直线CD与平面ABDE所成的角,即∠CDA=30°.所以AC=CD=·BC=BC,所以△ABC是等腰直角三角形,则AO⊥BC,又BD⊥平面ABC,所以BD⊥AO,BD∩BC=B,所以AO⊥平面BCD.又M,O分别是CD,BC的中点,所以MOBD,又AE∥BD,BD=2AE,所以OMAE,故四边形AEMO是平行四边形,所以AO∥EM,所以EM⊥平面BCD,又EM⊂平面CDE,所以平面BCD⊥平面CDE.(2)以A为原点,AC,AB,AE分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,不妨设AE=1,则C(,0,0),B(0,,0),E(0,0,1),D(0,,2),M,所以=(,-,0),=(0,-,1),=.设平面BCE的法向量为n1=(x,y,z),则即解得令y=1,得n1=(1,1,);设平面BEM的法向量为n2=(x,y,z),则即解得令y=1,得n2=(-1,1,);所以cos===,所以二面角C-BE-M的大小为60°.2.如图,在空间四边形P-ABC中,PA⊥AC,PA=AC,PC=2,BC=2,∠ACB=90°,且平面PAC⊥平面ABC.(1)求证:PA⊥BC.(2)若直线PC与平面ABM所成角的余弦值为,求PM.【解析】(1)因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊂平面PAC,PA⊥AC,所以PA⊥平面ABC,又因为BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.(2)过点A在平面ABC内作AE⊥AC,由(1)知PA⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PA⊥AE,PA⊥AC,以A为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),由此=(0,2,-2),=(2,2,0),设=λ(0<λ<1),则M(0,2λ,2-2λ),=(0,2λ,2-2λ).设平面AMB的法向量n=(x,y,z),则即令x=1,得n=.设直线PC与平面ABM所成角为θ,因为直线PC与平面ABM所成角的余弦值为,即cosθ=,则sinθ=|cos|===,解得λ=或λ=,所以PM=PC=或PM=PC=.
