高中数学 周周回馈练5（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

周周回馈练一、选择题1．已知a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A．B．C．D．答案C解析设a，b的夹角为θ．因为cosθ＝＝＝，θ∈[0，π]，所以θ＝．故选C．2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12答案D解析2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12．3．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为()A．2B．C．D．－答案B解析a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，c＝(－5，1)，由(a＋kb)∥c，得(2＋k)×1－(－1＋k)×(－5)＝0，解得k＝，故选B．4．已知a＝(2，4)，则与a垂直的单位向量的坐标是()A．或B．或C．或D．或答案D解析设所求向量的坐标为(x，y)，由题意可知，解得或故所求向量的坐标为或．5．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与向量a＋b的夹角为()A．B．C．D．π答案B解析∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝，∴4＋4a·b＋3＝7，∴a·b＝0，∴a⊥b．如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA．∵tan∠COA＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为．6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足|AC＋BC|＝|AC－BC|，则点C的轨迹方程是()A．x＋2y－5＝0B．2x－y＝0C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．3x－2y－11＝0答案C解析由|AC＋BC|＝|AC－BC|知AC⊥BC，所以点C的轨迹是以|AB|为直径的圆，圆心为线段AB的中点(1，2)，半径为，故点C的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5．二、填空题7．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若λa－2b与a垂直，则实数λ＝________．答案－1解析解法一：λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)．由于(λa－2b)⊥a⇔(λa－2b)·a＝0，故(λ－4)＋(λ＋6)＝0，得λ＝－1．解法二：由于(λa－2b)⊥a⇔(λa－2b)·a＝0，即λa2＝2a·b，从而λ(1＋1)＝2(1，1)·(2，－3)，即2λ＝－2，故λ＝－1．8．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角为180°，且|b|＝3，则b＝________．答案(－3，6)解析由题意，知a与b共线且方向相反，所以b＝λa(λ<0)．设b＝(x，y)，则(x，y)＝λ(1，－2)，即因为|b|＝3，所以x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45．解得λ＝－3(正值舍去)．所以b＝(－3，6)．9．已知正方形ABCD的边长为2，DE＝2EC，DF＝(DC＋DB)，则BE·DF＝________．答案－解析如图，以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．则B(0，0)，E，D(2，2)．由DF＝(DC＋DB)知F为BC的中点，故DF＝(－1，－2)．又∵BE＝，∴BE·DF＝－2－＝－．三、解答题10．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)；(4)|a＋b|．解(1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×－＝－3．(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5．(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34．(4)|a＋b|＝＝＝＝．11．如图所示，已知△ABC是边长为3的等边三角形，BE＝2λBA，BF＝λBC<λ<1，过点F作DF⊥BC，交AC边于点D，交BA的延长线于点E．(1)当λ＝时，设BA＝a，BC＝b，用向量a，b表示EF；(2)当λ为可值时，AE·FC取得最大值？解(1)由题意可知BF＝BC＝b，BE＝BA＝a，故EF＝BF－BE＝－a＋b．(2)由题意知|BF|＝3λ，|FC|＝3－3λ，|BE|＝6λ，|AE|＝6λ－3，所以AE·FC＝|AE|·|FC|cosB＝(6λ－3)·(3－3λ)cos60°＝－9λ2＋λ－，又λ∈，1，所以当λ＝－＝时，AE·FC取得最大值．12．如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°．求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解设A，B处所受力分别为f1，f2，物体所受的重力用f表示．则f1＋f2＋f＝0．以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则CF＝－f2，CE＝－f1，CW＝f．∠ECW＝180°－150°＝30°，∠FCW＝180°－120°＝60°，∠FCE＝90°，∴四边形CEWF为矩形．∴|CE|＝|CW|cos30°＝5，|CF|＝|CW|cos60°＝5．即A处所受力的大小为5N，B处所受力的大小为5N．