周周回馈练一、选择题1.已知a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案C解析设a,b的夹角为θ.因为cosθ===,θ∈[0,π],所以θ=.故选C.2.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=()A.-12B.-6C.6D.12答案D解析2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.3.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)∥c,则实数k的值为()A.2B.C.D.-答案B解析a+kb=(2+k,-1+k),c=(-5,1),由(a+kb)∥c,得(2+k)×1-(-1+k)×(-5)=0,解得k=,故选B.4.已知a=(2,4),则与a垂直的单位向量的坐标是()A.或B.或C.或D.或答案D解析设所求向量的坐标为(x,y),由题意可知,解得或故所求向量的坐标为或.5.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=,且|2a+b|=,则向量a与向量a+b的夹角为()A.B.C.D.π答案B解析∵|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b|2=7,|a|=1,|b|=,∴4+4a·b+3=7,∴a·b=0,∴a⊥b.如图所示,a与a+b的夹角为∠COA.∵tan∠COA==,∴∠COA=,即a与a+b的夹角为.6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足|AC+BC|=|AC-BC|,则点C的轨迹方程是()A.x+2y-5=0B.2x-y=0C.(x-1)2+(y-2)2=5D.3x-2y-11=0答案C解析由|AC+BC|=|AC-BC|知AC⊥BC,所以点C的轨迹是以|AB|为直径的圆,圆心为线段AB的中点(1,2),半径为,故点C的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=5.二、填空题7.已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若λa-2b与a垂直,则实数λ=________.答案-1解析解法一:λa-2b=(λ,λ)-2(2,-3)=(λ-4,λ+6).由于(λa-2b)⊥a⇔(λa-2b)·a=0,故(λ-4)+(λ+6)=0,得λ=-1.解法二:由于(λa-2b)⊥a⇔(λa-2b)·a=0,即λa2=2a·b,从而λ(1+1)=2(1,1)·(2,-3),即2λ=-2,故λ=-1.8.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角为180°,且|b|=3,则b=________.答案(-3,6)解析由题意,知a与b共线且方向相反,所以b=λa(λ<0).设b=(x,y),则(x,y)=λ(1,-2),即因为|b|=3,所以x2+y2=45,即λ2+4λ2=45.解得λ=-3(正值舍去).所以b=(-3,6).9.已知正方形ABCD的边长为2,DE=2EC,DF=(DC+DB),则BE·DF=________.答案-解析如图,以点B为原点,BC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.则B(0,0),E,D(2,2).由DF=(DC+DB)知F为BC的中点,故DF=(-1,-2).又∵BE=,∴BE·DF=-2-=-.三、解答题10.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b);(4)|a+b|.解(1)a·b=|a||b|cos120°=2×3×-=-3.(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos120°-3|b|2=8-15-27=-34.(4)|a+b|====.11.如图所示,已知△ABC是边长为3的等边三角形,BE=2λBA,BF=λBC<λ<1,过点F作DF⊥BC,交AC边于点D,交BA的延长线于点E.(1)当λ=时,设BA=a,BC=b,用向量a,b表示EF;(2)当λ为可值时,AE·FC取得最大值?解(1)由题意可知BF=BC=b,BE=BA=a,故EF=BF-BE=-a+b.(2)由题意知|BF|=3λ,|FC|=3-3λ,|BE|=6λ,|AE|=6λ-3,所以AE·FC=|AE|·|FC|cosB=(6λ-3)·(3-3λ)cos60°=-9λ2+λ-,又λ∈,1,所以当λ=-=时,AE·FC取得最大值.12.如图,用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).解设A,B处所受力分别为f1,f2,物体所受的重力用f表示.则f1+f2+f=0.以重力作用点C为f1,f2的始点,作平行四边形CFWE,使CW为对角线,则CF=-f2,CE=-f1,CW=f.∠ECW=180°-150°=30°,∠FCW=180°-120°=60°,∠FCE=90°,∴四边形CEWF为矩形.∴|CE|=|CW|cos30°=5,|CF|=|CW|cos60°=5.即A处所受力的大小为5N,B处所受力的大小为5N.