幂函数及性质运用一、核心突破：幂函数在《考试说明》中是A级要求，高考主要考查其概念及简单性质的运用．1．理解幂函数的概念，熟悉幂函数的解析式，会画简单幂函数的图象；2．熟练掌握幂函数y＝xa(a为有理数)的性质和图象之间的关系；3．理解当a>0与a<0时幂函数在第一象限的图象和增减性，并运用它进一步分析解决有关幂函数的问题；4．培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想．一、知识梳理：1.概念反思：幂函数的定义：一般地，形如的函数叫做幂函数（其中a是常数）．2.图像规律：①定义域判断：；。②奇偶性判断：取决于取值的奇偶性。③单调性判断：时；时；时；④规律总结：逆时针值增大规律。幂函数的性质：1）所有幂函数在都有意义，并且图象都通过点；2）a>0时，(1)图象都经过点（0，0）和（1，1）；(2)图象在第一象限是增函数；3）a<0时，(1)图象都经过点（1，1）；(2)图象在第一象限是减函数,且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴；4）当为奇数时，函数为函数，当为偶数时，函数为函数．用心爱心专心1经典运用例1：概念类运用:给出下列函数：①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝，其中是幂函数的有。分析幂函数的定义是形式上的，即只有形如y＝xα(α是常数)的函数才是幂函数，本例中其余选项中的函数只是幂函数类函数．变式练习：已知幂函数，当时为减函数，则幂函数．变式练习：已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的图象．变式练习：【南通八重名校内部联考】4．设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为.变式练习：【涟水中学09-10期中】9、已知，幂函数定义域为,且在上为增函数，则▲.变式练习：【启东2010～2011期中】12.当时，幂函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围.例2：图象类运用:1．写出下列函数的定义域，并画出函数图象、指出函数的单调性和奇偶性：强调说明：2.已知函数2245()44xxfxxx1).求()fx的单调区间；2).比较()f与2()2f的大小例3：性质类运用:比较大小，,；变式练习：已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，求m的取值范围．用心爱心专心2变式练习：若(a＋1)－2＞(3－2a)－2，则a的取值范围是________．错解:由y＝x－2在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0＞a＋1＞3－2a或0＜a＋1＜3－2a，解之得：－1＜a＜，∴a的取值范围是(－1，)．点击上述解法只考虑到a＋1,3－2a在同一单调区间的情形，不全面．方法总结：(1)am与an：构建指数函数y＝ax；(2)am与bm：构建幂函数y＝xm；(3)ab与ba：往往取中间量0、1、aa或bb.例4：性质类运用:单调性运用幂函数当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点连结，线段恰好被其中的两个幂函数的图象三等分，即有.那么，.变式练习：已知函数cbxxxf2)(，满足)1()1(xfxf且3)0(f，当0x时，试比较)(xbf与)(xcf的大小。变式练习：讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．变式练习：【10青海省】函数在第二象限内单调递增，则的最大负整数是________．-1例5：综合运用:数形结合题1.当k∈(0，)时，试研究方程＝kx的解的个数．2.已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；③＞；④＜.其中正确结论的序号是()A．①②B．①③C．②④D．②③3.【2010·淄博统考】已知函数(1)证明f(x)是奇函数,并求其单调区间;(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,并由此概括一个涉及函数用心爱心专心3f(x),g(x)的对所有非零实数x都成立的等式,并证明.评析:本题既考查了幂函数的性质,又考查了归纳推理,函数是整个高中数学的一个核心和主线,它可以和许多问题联系在一起,幂函数作为一种常见的函数模型,往往也是许多知识的交汇点,所以应重视对幂函数的研究.请同学们认真完成课后强化作业:1.【灌云中学10－11期中】9．已知幂函数在上为减函数，则实数▲．2.【2010·广州月考】函数(m∈N*)的定义域是________,单调递增区间是________.3.若，求的取值范围。4.若logx3>logy3>0,则下列不等式恒成立的是()A新疆源头学...
