考点规范练28数列的概念与表示基础巩固1.数列1,,…的一个通项公式an=()A.B.C.D.2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于()A.B.C.D.303.若数列{an}的前n项积为n2,则当n≥2时,an=()A.2n-1B.n2C.D.4.若数列{an}满足=d(n∈N+,d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=()A.10B.20C.30D.405.(2017宁夏银川二模)已知数列{an}满足a1=2,且+…+=an-2(n≥2),则{an}的通项公式为.6.已知数列{an}的前4项分别是,1,,则这个数列的一个通项公式是an=.7.已知数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N+),则数列{an}的通项公式an=.8.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2),则当an取得最大值时,n=.9.若数列{an}的通项为an=(-1)n(2n+1)·sin+1,前n项和为Sn,则S100=.110.(2017广东江门一模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,Sn=an(an+1),n∈N+.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.能力提升11.设数列{an}满足a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20的值是()A.4B.4C.4D.412.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+),则an等于()A.2n-1B.nC.2n-1D.13.(2017山西晋中二模)我们可以利用数列{an}的递推公式an=(n∈N+),求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则a64+a65=.14.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N+.(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)若an+1≥an,求a的取值范围.2高考预测15.(2017河南洛阳一模)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)·…·(a2015a2017-)=()A.1B.-1C.2017D.-2017参考答案考点规范练28数列的概念与表示1.B2.D解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,∴=5×(5+1)=30.3.D解析设数列{an}的前n项积为Tn,则Tn=n2,当n≥2时,an=.34.B解析∵数列为调和数列,∴=xn+1-xn=d.∴{xn}是等差数列.又x1+x2+…+x20=200=,∴x1+x20=20.又x1+x20=x5+x16,∴x5+x16=20.5.an=n+1解析∵+…+=an-2(n≥2),①+…+=an+1-2(n≥2),②②-①得=an+1-an,整理得,∴=1,又=1,∴数列是以1为首项,1为公比的等比数列,即常数列1,∴an=n+1.6.解析数列{an}的前4项可分别变形为,故an=.7.3n解析a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减得an=3n.8.5或6解析由题意令∴解得∴n=5或n=6.9.200解析当n为偶数时,则sin=0,即an=(2n+1)sin+1=1(n为偶数).4当n为奇数时,若n=4k+1,k∈Z,则sin=sin=1,即an=-2n;若n=4k+3,k∈Z,则sin=sin=-1,即an=2n+2.故a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8,因此S100=×8=200.10.解(1)a1=S1=a1(a1+1),a1>0,解得a1=1.∀n∈N+,an+1=Sn+1-Sn=an+1(an+1+1)-an(an+1),移项整理并因式分解得(an+1-an-1)(an+1+an)=0,因为{an}是正项数列,所以an+1+an>0,所以an+1-an-1=0,an+1-an=1.所以{an}是首项a1=1、公差为1的等差数列,所以an=n.(2)由(1)得Sn=an(an+1)=n(n+1),bn=,Tn=b1+b2+…+bn=+…+.11.D解析由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,得nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan=2a2-a1=5.令bn=nan,则数列{bn}是公差为5的等差数列,故bn=1+(n-1)×5=5n-4.所以b20=20a20=5×20-4=96,所以a20==4.12.D解析由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N+),5∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减,得2an=3an-1(n≥2).又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1.∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.∴an=.13.66解析由题得,这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,…∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66.14.解(1)因为an+1=Sn+3n,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn.又b1=S1-3=a-3,故{bn}的通项公式为bn=(a-3)2n-1.(2)由题意可知,a2>a1对任意的a都成立.由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1.于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,故an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2.当n≥2时,由an+1≥an,可知12+a-3≥0,即a≥-9.又a≠3,故所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).15.B解析∵a1a3-=1×2-12=1,a2a4-=1×3-22=-1,a3a5-=2×5-32=1,…,a2015a2017-=1.∴(a1a3-)(a2a4-)(a3a5-)·…·(a2015a2017-)=11008×(-1)1007=-1.6
