高中数学 第四章 函数应用 4.1.2 利用二分法求方程的近似解学业分层测评 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题VIP免费

4.1.2利用二分法求方程的近似解(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.用“二分法”可求近似解，对于精度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精度越高B．ε越大，零点的精度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关【解析】依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精度越低．【答案】B2.在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C．[－2,2.5]D．[－0.5,1]【解析】因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中，故选D.【答案】D3.设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间()A．(2,2.25)B．(2.25,2.5)C．(2.5,2.75)D．(2.75,3)【解析】由二分法的步骤知方程的根落在区间(2.5,2.75)内．【答案】C4.为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：x1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为()A．1.32B．1.39C．1.4D．1.3【解析】由f(1.375)·f(1.4375)＜0，可知方程2x＋3x＝7的近似解可取1.4.故选C.【答案】C5.已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精度为0.2)，则需要将区间等分的次数为()A．3B．4C．5D．6【解析】由用二分法求函数零点近似值的步骤可知．分一次，f＞0，区间长度＝0.5＞0.2，分二次，f＞0，区间长度＝0.25＞0.2，分三次，f＜0，区间长度＝＜0.2，所以分三次可以使x0的近似值达到精度为0.2.故选A.【答案】A二、填空题6.在用二分法求方程ex＋x－2＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．【解析】令f(x)＝ex＋x－2，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f＝－>0.∴下一个区间为.【答案】7.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值(或近似值)用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.438)＝0.165f(1.4065)＝－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为________．【解析】由于f(1.438)·f(1.4065)＜0，结合二分法的定义得零点应该存在于区间(1.4065，1.438)中，故方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4.【答案】1.48.用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精度能达到0.01?【解析】设n次“二分”后精度达到0.01， 区间(2,3)的长度为1，∴＜0.01，即2n＞100.注意到26＝64＜100,27＝128＞100，故要经过7次二分后精度达到0.01.【答案】7三、解答题9.用二分法判断函数f(x)＝2x3－3x＋1零点的个数．【解】用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图)：x－1.5－1－0.500.511.5f(x)－1.2522.251－0.2503.25由上表和上图可知，f(－1.5)<0，f(－1)>0，即f(－1.5)·f(－1)<0，说明这个函数在区间(－1.5，－1)内有零点．同理，它在区间(0,0.5)内也有零点．另外，f(1)＝0，所以1也是它的零点，由于函数f(x)在定义域和内是增函数，在内是减函数，所以它共有3个零点．10.证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精度为0.1)【解】证明如下：设函数f(x)＝2x＋3x－6， f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又 f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33＞0，f(1)·f(1.5)＜0，∴x0∈(1,1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128＞0，f(1)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444＜0，f(1.125)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.1875，f(1.1875)≈－0.16＜0，f(1.1875)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.1875,1.25)． |1.25－1.1875|＝0.0625＜0.1，∴1.1875可作...