高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 圆锥曲线中的范围、最值问题分层演练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第9讲圆锥曲线中的范围、最值问题1．如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是()A．(10，14)B.(12，14)C．(10，12)D．(9，11)解析：选C.抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1，0)，由抛物线定义可得|QC|＝xQ＋1，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1，0)，半径为5，可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP，由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝25可得交点的横坐标为4，即有xP∈(4，6)，可得6＋xP∈(10，12)，故△PQC的周长的取值范围是(10，12)．故选C.2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若AF＝λFB(λ＞1)，则λ的值为________．解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF＝λFB，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝.设直线AB的方程为y＝，联立直线与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1·y2＝－p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.答案：43．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(，－2)．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围．解：(1)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝＋＝4，所以a＝2，b＝2，即椭圆C的方程是＋＝1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，2)，F(0，－2)，OE·OF＝－8.若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以OE·OF＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8，因为0＜≤10，所以－8＜OE·OF≤2，所以OE·OF的取值范围是[－8，2]．4．设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．解：(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，故椭圆M的方程为＋＝1.(2)不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2b>0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．解：(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)．又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，所以a2＝4，b2＝2，因此椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，由Δ>0得m2<4k2＋2.(*)且x1＋x2＝－，因此y1＋y2＝，所以D，又N(0，－m)，所以|ND|2＝＋，整理得|ND|2＝，因为|NF|＝|m|，所以＝＝1＋.令t＝8k2＋3，t≥3.故2k2＋1＝，所以＝1＋＝1＋.令y＝t＋，所以y′＝1－.当t≥3时，y′>0，从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，因此t＋≥，等号当且仅当t＝3时成立，此时k＝0，所以≤1＋3＝4，由(*)得－