专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A．B．pC．2pD．无法确定答案C解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x＝，∴y＝±p，|AB|min＝2p．故选C．2．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为()A．4B．6C．8D．9答案D解析注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4，故|PF|＋|PA|＝2a＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝9，当且仅当A，P，F′三点共线时等号成立．故选D．3．已知M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0，2)B．[0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)答案C解析由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为4，且|FM|>4，根据抛物线的定义知|FM|＝y0＋2，所以y0＋2>4，得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．4．过椭圆＋＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是()A．14B．16C．18D．20答案C解析如图，设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF的周长为|PF|＋|FQ|＋|PQ|＝|PF|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF的周长取得最小值10＋2×4＝18．故选C．5．(2018·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A．B．C．D．答案A解析点A关于直线l：y＝x＋3的对称点A′(－3，2)，连接A′B与直线l相交，当点P在交点处时，2a＝|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＝|A′B|＝2，此时a取得最小值，又c＝1，所以椭圆C的离心率的最大值为，故选A．6．(2019·厦门一中开学考试)已知△ABC三个顶点A，B，C都在曲线＋＝1上，且BC＋2OB＝0(其中O为坐标原点)，M，N分别为AB，AC的中点，若直线OM，ON的斜率存在且分别为k1，k2，则|k1|＋|k2|的取值范围为()A．，＋∞B．[0，＋∞)C．0，D．，＋∞答案D解析由于A，B都在曲线＋＝1上，则有＋＝1，＋＝1，两式相减并整理可得＝－，由BC＋2OB＝0知，BC＝－2OB，则B，C关于坐标原点对称，而M，N分别为AB，AC的中点，则k1＝kAC，k2＝kAB，则|k1|＋|k2|＝|kAC|＋|kAB|≥2＝2×＝2＝2＝，当且仅当|kAB|＝|kAC|时，等号成立．故选D．二、填空题7．(2018·湖北黄冈中学二模)设椭圆＋y2＝1上任意一点A到两条直线x±2y＝0的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为________．答案解析设点A的坐标为(2cosα，sinα)，则d1d2＝·＝≤，所以d1d2的最大值为．8．(2018·河南六市联考一)已知P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值是________．答案1＋2解析设双曲线的右焦点为F2(，0)，不妨设渐近线l：x－y＝0，则点F2(，0)到渐近线l的距离为1，由于点P在双曲线右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|PF1|＝2＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|≥2＋1，当且仅当点Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时取等号，故|PF1|＋|PQ|的最小值是1＋2．9．(2018·厦门质检一)过抛物线E：y2＝4x焦点的直线l与E交于A，B两点，E在点A，B处的切线分别与y轴交于C，D两点，则4|CD|－|AB|的最大值是________．答案8解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线AC的方程为x＝t(y－y1)＋x1＝t(y－y1)＋，代入抛物线的方程，消去x，得y2－4ty＋4ty1－y＝0．由Δ＝16t2－4(4ty1－y)＝0，得t＝，所以直线AC的方程为x＝(y－y1)＋，其中令x＝0，得yC＝，同理可求得yD＝，所以|CD|＝|y1－y2|．由题意，知抛物线的焦点为F(1，0)，则设直线AB的方程为x＝my＋1，代入抛物线的方程，消去x，得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以4|CD|－|AB|＝2|y1－y2|－·|y1－y2|＝2－·＝8－4(1＋m2)＝－4×(－)2＋8，所以当＝时，4|CD|－|AB|取得最大值为8．三、解答题10．(2018·济南模拟)在平面直角坐...
